Сабақ конспектілері Дәріс Тақырыбы: бір айнымалының функциясын минимумдау
жүктеу/скачать 2,52 Mb.
|
коспект лекций КО каз
| ЛАГРАНЖ ЕСЕБІ.
Изопериметрлік есеп. Келесі есепті изопериметрлік есеп дейміз: (1) (2) мұндағы аймағында екі рет дифференциадданатын функциялар, l - берілген сан. 1-теорема. Егер функциясы (1) функционалды (2) шарттарда әлсіз локәлдік экстремумге жеткізсе және ол (3) функционалының экстремәлі болмаса, онда функциясы (4) дифференциалдық тендеуінің шешімі болатын саны табылады. Дәлелі. нүктелерін таңдап алайық. Мәселен , мұндағы – U -дағы функционалдың әлсіз локәлдік минимум нүктесі, ал Сондағы (1) - функционалдың өсімшесі (5) мұндағы . Байқаймыз: реттері , яғни . ендеше демек (6) Теорема шартынан функциясы (3) функционалының экстремәлі емес, демек нүктесін болатындай етіп тандауға болады. Сонда (6)-дан: (7) (7)-дегі мәнін (6) өрнектің оң жағына қойсақ: (8) мұндағы сан. Сонымен (8) түріндегі функционал өсімшесін қорытқанда шарты ескерілген, яғни ол қарапайым жағдайдағыдай функция өсімшесі, демек Осыдан (4) - өрнек алынды. Теорема дәлелденді. Байқайтынымыз: (4) шарты екінші ретті дифференциалдық тендеу және оның шешімі , түрақтылары шарттарынан анықталады. Жалпы жағдайда изопериметрлік есеп былай қисындалады: (9) (10) 2-теорема. Егер вектор функциясы (9) функционалын (10) шарттарда әлсіз локәлдік минимумге жеткізсе, онда вектор функция келесі тендеулердің , (11) шешімі болатын, барлығы бірдей нөлге тең емес сандары табылады. Мұндағы функциясы лагранжиан деп аталып, формуласымен анықталады. Теорема жағдайы үшін жоғарыда дәлелденген. Жалпы жағдай үшін ұқсас тәсілдермен дәлелденеді. Ескерту: (11) -тендеу шешімі вектор функциясы, ал тұрақтылары шарттарынан анықталады. жүктеу/скачать 2,52 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|