-дәріс. Лагранж және Клеро теңдеулері

Дәрістің қысқаша мазмұны:

Егер ізделінді функция бойынша шешілген (2) теңдеуінің түрі

y  y^x  y^
(5)

түрінде болса, ондай теңдеулерді Лагранж теңдеулері деп атайды. Бұл теңдеулерді шешу үшін де параметр енгізу әдісін пайдаланамыз.
y^  p
y   px   p
dy  d  px   p
dy   pxdx  x ^ p  ^pdp dy  pdx
pdx   pdx  x ^ p  ^pdp
 p  pdx  x ^ pdp  ^pdp  0 / : dp

p p ^dx  x ^p ^p  0
dp
dx _  ^p _{x }  ^p
/ p p  0

(6)

dp p p p  p


^{x } ^{C }
_
 p

_ e
p  p
  p 
  p  p ^dp

^dp^e
_
  p 
p  p ^dp

x  ApC  Bp y  EpC  Dp
Ескерту: Лагранж теңдеуін параметр енгізу әдісімен шешу барысында  p  p  0
деп бөлгендіктен  p  p  0 теңдеуінің шешімдері жоғалған шешім бола ма деген сұраққа
зерттеу жүргізуіміз керек. Айталық, бұл теңдеудің шешімдері р_i   p_i болсын, і=1,2,….
Онда   p  ның орнына p_i  ді қоямыз. ^{y  p}_i ^{x   p}_i ^ функциясы Лагранж теңдеуінің
ерекше шешімі болуы мүмкін. Ал олардың графиктері ерекше қисықтар болады.
Анықтама: (3) түріндегі Лагранж теңдеуінің у^  у^ болса, ондай теңдеулер Клеро теңдеулері деп аталады.

y  y^x   y^
y^  p
y  px p
(6)

dy  pdx  xdp  ^pdp pdx  pdx  xdp  ^pdp
x  ^pdp  0 dp  0  p  c x  ^p  0
x   ^p
y  cx  c

2-Бөлім. ЖОҒАРҒЫ РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР

Глоссарий:

1. 
   n  ^{ші ретті айқын дифференциалдық теңдеу мына түрде жазылады:}
   

_y( n ) _
f (x; y; y^;...; y^{( n1)} ) ,

2. 
   ^{ал айқын емес} n  ^{ші ретті дифференциалдық теңдеу:}
   

F (x, y, y^,..., y^{( n )} )  0 .

3) F( x, y^{( k )} , y^{( k1)} ,..., y^{( n )} )  0
- бұл жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеудің

құрамына ізделініп отырған ^y функциясы мен оның (k-1)-ретке дейінгі туындылары кірмейді. Бұл жағдайда, ретін төмендету мына ауыстыру көмегімен жүзеге асырылады:
y^{( k )}  z, y^{( k 1)}  z^,..., y^{( n)}  z ^{( nk )} .

4. 
   F ( y
   

, y^,..., y^{( n )} )  0
түріндегі дифференциалдық теңдеу - құрамына тәуелсіз

айнымалы x кірмейтін теңдеу. Бұл жағдайда мынадай белгілеу енгіземіз:
y^  ^dy  p. dx

1

2
дифференциалдық теңдеу. Онда теңдеудің жалпы шешімі.
y  _{ }..._
f (x)dxdx...dx  С x^n1  C
x^n2  ...  C


n1
x  C_n -

4. 
   n ^{- ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі}
   

теңдеуді айтамыз:

1

n

2
Ly y^{n }  a y^n1  a
y^{n2 }    a


n1
y^  a y 
f x,

i
^{мұндағы} a_i  a x, i  1, n ^{теңдеудің коэффиценттері, қандай да кесіндіде үзіліссіз} функциялар.

4. 
   
   1
   
   n
   Теңдеудің оң жағы Ly  y ^{n }  a y ^n1  a y
   

аталады.
сызықтық оператор деп

4. 
   y₁ , y₂ ,..., y_m ^{функциялары} a ;b
   

аралығында сызықты тәуелді деп аталады,


егер төмендегі теңдеуді қанағаттандыратын барлығы бірдей нөлге тең емес

m

m

1



m
,₂ ,..., , ^{тұрақтылары табылатын болса:}

1 ^y1
 ₂ y₂
 ...   y
 0 ,
x  a ; b

кері жағдайда, сызықты тәуелсіз деп аталады.

4. 
   Сызықты тәуелді y₁ , y₂ ,..., y_n функцияларының ^{n  1}
   

• 
  ші ретке дейінгі
  

туындылары бар болса, онда олар Вронский анықтауышы деп аталатын:

W y₁ ; y₂ ;; y_n 
анықталады.
y₁ y^

1

y
n1
1
y₂ 

2
y^ 

y


n1
2
y_n

n
y^

y
n1 n

анықтауыш көмегімен

4. 
   Егер
   

y , y ,..., y
функциялары a ; b,
аралығында сызықты тәуелді болса, онда

1 2 n

осы a ;b
аралығында W y , y ,..., y  0 .

1 2 n

4. 
   ^Егер Ly 0 ^{теңдеуінің дербес шешімдері y , y}
   

1 2
,..., y_n
a ;b аралығында

1

2
сызықты тәуелсіз функциялар болса, онда x  a ; b: W y , y ,..., y   0 .
n

4. 
   ^{Кез келген} Ly 0 ^{теңдеуінің n сызықты тәуелсіз дербес шешімдер жүйесі}
   

фундаментальдық шешімдер жүйесі деп аталады.

4. 
   Ly 0 ^{дифференциалдық теңдеуінің әрқашанда фундаменталдық шешімдер}
   

жүйесі табылады.

4. 
   Егер
   

y₁ , y₂ ,..., y_n -
Ly 0
теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда

y  C₁ y₁  C₂ y₂    C_n y_n ,


^{мұндағы} C_i , i  1, n ^{- кез келген тұрақтылар және бұл да}


Ly 0 ^{теңдеуінің шешімі}

болады.
^{y  C}₁ ^y₁ ^{ C}₂ ^y₂ ^{   C}_n ^y_n шешімінде n тұрақты бар. Қандай шарт

орындалғанда ^{y  C}₁ ^y₁ ^{ C}₂ ^y₂ ^{   C}_n ^y_n шешімі Ly 0
болады.
теңдеуінің жалпы шешімі

4. 
   ^Егер Ly 0 ^{теңдеуінің дербес шешімдері y}₁ ^{, y}₂ ^{,..., y}_n ^{фундаменталдық}
   

шешімдер жүйесін құраса, онда y  C₁ y₁  C₂ y₂    C_n y_n
теңдеуінің жалпы шешімі болады.
шешімі
Ly 0

4. 
   Егер сызықты дифференциалдық теңдеудегі:
   

1

2
Ly y^{n }  a y^n1  a
y^{n2 }    a
n1
y^  a y 
f x,

n
^{коэффиценттері деп аталатын барлық} a_i ,


i  1, n

• 
  тұрақты сандар болса, онда ол тұрақты
  

коэффициентті сызықты дифференциалдық теңдеулер деп аталады.




 ^dx₁


^ dt
f₁ t, x₁ , x₂
,..., x_n ,

4. 
   

_ dx₂
 ^dt
 f ₂
t, x₁ , x₂
,..., x_n ,

^...................................


_ dx_n
^ dt
 f _n
t, x₁ , x₂
,..., x_n ,

түріндегі дифференциалдық теңдеулер жүйесі нормаль жүйе деп аталады.

9. 
   
   
   жүктеу/скачать 284,49 Kb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: