дәріс. Бернулли теңдеуі.
Анықтама.
y P(x) y Q(x) y
, 1,
P(x), Q(x) - қандай да бір кесіндіде үзіліссіз функциялар. Бұл теңдеу
u y1
айнымалысын ауыстыру көмегімен сызықты теңдеуге келтіріледі
Мысал 1. Шешуі:
y xy x y 2
Бернулли теңдеуін сызықты теңдеуге келтір.
2 u y1
1 u 1
y y2
y y y2 u y u
u 2
u
u 2
u xu x u xu x .
Мысал 2.
y 2ex y 2ex
Бернулли теңдеуінің жалпы шешімін тап.
z ex z ex
теңдеуін аламыз, бұл сызықты теңдеу және оның жалпы шешімі:
z e
e dx
x
exe
exdx
dx C e
ex
x
exee
dx C
eex
eex
dex
C
eex eex C 1 Ceex .
Онда берілген теңдеудің жалпы шешімі:
y z 2 1 Ce ex 2 .
Мысал 3.
ху у ху 2 ln x
теңдеуінің жалпы шешімін тап.
Берілген теңдеудің екі жағын да х 0
айнымалысына бөліп, Бернулли теңдеуін
алуға болады, мұндағы 2. Ал біз бұл теңдеуді Бернулли ауыстыруы әдісімен
шығаралық y uv, y uv uv:
x uv uv uv x uv 2 ln x.
xv v 0
теңдеуінен,
v x 1
аламыз. Енді
xvu xu 2 vln x
теңдеуінің жалпы
шешімін табу қажет, мұндағы
v x 1 . Онда
u u 2 ln x
x
теңдеуін аламыз.
Айнымалыларды ажыратып, интегралдасақ:
du ln x dx ,
u 2 x
du
2
u
ln x dx ,
x
1
u
ln 2 x
2
u
2 .
C ln 2 x
Сонымен, берілген теңдеудің жалпы шешімі:
y uv
2
x C ln
x
2 . ◄
дәріс. Толық дифференциалды теңдеулер.
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Анықтама.
M ( x, y) dx N ( x, y) 0
(1)
түріндегі дифференциалдық теңдеу толық дифференциалды теңдеу деп аталады, егер толық дифференциалы қандай да бір облыста теңдеудің сол жағындағы өрнекке
тең болатын u(x; y)
функциясы табылса.
Сонымен,
Mdx Ndy du( x ) u dx u dy 0
(2)
x y
Теорема 1. M (x; y), N (x; y) үзіліссіз және дифференциалданатын функция
және M
y
пен N
x
қандай да бір облыста үзіліссіз болсын. (1) теңдеуі толық
дифференциалды теңдеу болуы үшін:
M N
y x
(3)
шарты орындалуы қажетті және жеткілікті. Және жалпы интеграл мына түрде жазылады:
x y
M( x; y )dx N( x0 ; y )dy C ,
M x, y0 dx N x, ydy C,
(5)
мұндағы
М х
x0 y0
0
0,
у D .
0
Мысал 4. (3x3 6xy 2 )dx (6x 2 y 4 y 3 )dy 0
Шешуі:
теңдеуін шеш.
M 3 x3 6 xy 2 ,N 6 x2 y 4 y3 және
M N 12 xy
y x
болғандықтан, бұл толық
дифференциалды теңдеу.
(x0 ; y0 ) (0;0)
болсын. Онда
x
(3 x2
0
интеграл.
y
) dx 4 y
0
3 dy
x3
3 x2
y 2 x y
0
4 y x3
0
3 x2 y 2
C - жалпы
Мысал 5. x 2 y 4dx x y ex dy 0
теңдеудің жалпы интегралын тап.
P x 2 y 4,
Q x y e y
белгілеуін енгіземіз.
P 1,
y
Q 1, яғни, (3)
x
шарты орындалады, берілген теңдеу толық дифференциалды теңдеу. Оның жалпы
интегралын (4) немесе (5) түрінде іздейміз, қарапайымдылық үшін х0 0 ,
у0 0 деп
аламыз. х0 , у0 -дің бұл мәндерін таңдап алуымыз дұрыс, себебі Px, y, Qx, y
функциялары мен оның дербес туындылары осы нүктеде анықталған, яғни,
формуласынан:
М 0 0,0 D.
x y
x2 0 4dx x y е у dy C,
0 0
х3
3
4х ху у
2
2
1 С,
ал (5) формуласынан:
x y
x2 у 4dx 0 y е у dy C,
0 0
х3
3
ху 4х у
2
2
1 С
шығады, бұл (4) формуласынан табылған жалпы интегралмен беттеседі.
дәріс. Туындыға қатысты шешілмеген дифференциалдық теңдеулер
Дәрістің қысқаша мазмұны:
F x, y x, y x 0
(1)
Егер (1) теңдеуі ізделінді функция у-тің туындысына байланысты шешілмесе, яғни
нормаль формаға келтірілмесе, онда туындысы бойынша шешілмеген теңдеулер типіне жатады дейді.
Қандай да бір (а,в) аралығында анықталған үзіліссіз y y x функциясы (1) теңдеуін
тепе-теңдікке айналдырса, онда бұл функция (1) теңдеуінің шешімі болады. Кейбір
жағдайларда дифференциалдық теңдеулердің шешімі x t, c , y t, c параметрлік
түрінде немесе x, y, c 0 айқындалмаған функция түрінде беріледі.
Мысал 1.
y2 1 0
y2 1 0
теңдеуінің шешімі нақты сандар өрісінде жоқ.
Мысал 2. y 1y 1 0
y 1
немесе
y 1
y x c
Кейбір туындысы бойынша шешілмеген теңдеулерді ізделінді функцияның туындысына байланысты шешілсе шешіп, алынған бір немесе бірнеше теңдеулерді түріне қарай ажыратып шешімін табамыз.
Кейбір туындысы бойынша шешілмеген теңдеулер ізделінді функция у бойынша
және тәуелсіз айнымалы х бойынша шешілсе, онда
y p
деп параметр енгізу әдісін
пайдаланып, алынған алгебралық теңдеудің екі жағын толық дифференциалдап
dy p dx
ауыстыруын қайтадан жасап, дифференциалдық теңдеудің шешімін параметр u мен v
айқындалмаған функция түрінде беруге болады.
y f x, y
(2)
x gy, y
(3)
(2) y p
y f x, p
(*)
dy f
x
dx f dp
p
pdx f
x
dx f dp
p
x p
Алынған (4) теңдеуі х және р-ға байланысты бірінші ретті теңдеу түріне қарай
ажыратып, p p x, c түрінде шешімін алсақ, ондағы р-ның мәнін (*)-ға қоямыз. Сонда (*)
y f x, p x, c шешімін аламыз.
Достарыңызбен бөлісу: |