дәріс. Сызықтық дифференциалдық жоғарғы ретті теңдеулер.
Функциялардың сызықты тәуелділігі. Вронский анықтауышы
Дәрістің қысқаша мазмұны:
n
Анықтама 1. n - ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу деп мына түрдегі теңдеуді айтамыз:
1
2
Ly yn a yn1 a
yn2 a
n1
y a y
f x,
(1)
i
1
n
мұндағы ai a x, i 1, n теңдеудің коэффиценттері, қандай да кесіндіде үзіліссіз функциялар.
Теңдеудің оң жағы
Ly y n a y n1 a y сызықтық оператор деп
аталады.
Ly y Ly Ly
1
1
2
және LCy CLy теңдігі орындалатынына оңай
2
көз жеткізуге болады, C const .
Теорема 1 (Пикар). Қандай да бір D облысының барлық нүктелерінде үзіліссіз
i
i
болатын a a x, i 1, n және f x функциялары үшін (1) Коши есебінің тек
жалғыз ғана шешімі табылады.
i
i
Ары қарай, біз a a x,
i 1, n
және
f x
функцияларын D облысында
үзіліссіз деп қарастырамыз.
Сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі.
L y 0
(2)
Анықтама 2.
y1 , y2
,..., ym
функциялары a ;b
аралығында сызықты тәуелді деп
аталады, егер төмендегі теңдеуді қанағаттандыратын барлығы бірдей нөлге тең емес
m
m
1
m
,2 ,..., , тұрақтылары табылатын болса:
1 y1
2 y2
... y
0 ,
x a ; b
кері жағдайда, сызықты тәуелсіз деп аталады.
Мысал 1.
а) y1 x , y x , y 3x , y 2x x - функциялары ;
2 2
2
4
3
аралығында сызықты тәуелді, себебі:
1
2
3
4
1) 3 , 0, 1, 0 3 y
1
0 y2
0 y4 3 y1 y3 3 x 3 x 0 y3
1
2
3
4
2) 2 , 1, 0, 1 2 y y
1 2
y4 2x x 2x x 0 y 2 y y
2 2
4
1
б) 1, x , x2 функциялары ;
аралығында сызықты тәуелсіз, себебі
1 2 x 3 x2 =0 теңдігі барлық x үшін емес, тек x -тің екі мәні үшін ғана орынды.
Сызықты тәуелді
y1 , y2
,..., yn
функцияларының n 1
- ші ретке дейінгі
туындылары бар болса, онда олар Вронский анықтауышы деп аталатын:
W y1 ; y2 ;; yn
анықталады.
y1 y
1
y
n1
1
y2
2
y
y
n1
2
yn
n
y
y
n1 n
анықтауыш көмегімен
Теорема 2. Егер
y , y ,..., y
функциялары a ; b,
аралығында сызықты тәуелді
1 2 n
болса, онда осы a ;b
аралығында
W y , y ,..., y 0 .
1 2 n
1
2
сызықты тәуелсіз функциялар болса, онда x a ; b:
W y , y
,..., yn 0 .
Анықтама 3. Кез келген (2) теңдеуінің n сызықты тәуелсіз дербес шешімдер жүйесі фундаментальдық шешімдер жүйесі деп аталады.
Теорема 4. (2) дифференциалдық теңдеуінің әрқашанда фундаменталдық шешімдер жүйесі табылады.
Теорема 5. Егер
y1 , y2 ,..., yn
(2) теңдеуінің дербес шешімдері болса, онда
y C1 y1 C2 y2 Cn yn , (3)
мұндағы Ci , i 1, n - кез келген тұрақтылар және бұл да (2) теңдеуінің шешімі болады.
шешімінде n тұрақты бар. Қандай шарт орындалғанда (3) шешімі (2)
теңдеуінің жалпы шешімі болады.
Теорема 6. Егер (2) теңдеуінің дербес шешімдері
y1 , y2 ,..., yn
фундаменталдық
шешімдер жүйесін құраса, онда (3) шешімі (2) теңдеуінің жалпы шешімі болады.
Мысал 2.
ex , e x , e2 x
функциялар жүйесі
y 2 y y 2 y 0
теңдеуінің
фундаментальдық шешімдер жүйесі болатынын көрсет және оның жалпы шешімін жаз.
1 2 3
теңдеуге қою арқылы олар теңдеудің шешімі болатынына көз жеткізуге болады. Оның вронскианы:
ex
W ex , ex , e2x ex
ex
e x
e x
e2 x
2e2 x
4e2 x
1
exe xe2 x 1
1
1 1
1 2 6 e2x 0 .
1 4
Ендеше,
ex , e x , e2 x
сызықты тәуелсіз функциялар және берілген теңдеудің
фундаментальдық шешімдер жүйесін құрайды. Оның жалпы шешімі (4) формуласына сәйкес:
~y C ex C e x C e2 x .
1 2 3
Мысал 3.
y 2 y y 2 y 2x 1
теңдеуінің жалпы шешімін жаз, егер оның
дербес шешімдерінің біреуі y* x 1 функциясы болса.
Шешуі: Сәйкес біртекті дифференциал теңдеудің жалпы шешімі ~y табылған, онда теңдеудің жалпы шешімі:
y ~y y* y C ex C e x C e2 x x 1 .
мысалда
1 2 3
дәріс. Тұрақты коэффициентті сызықтық дифференциалдық теңдеулер
Дәрістің қысқаша мазмұны:
Жоғарғы ретті сызықтық дифференциал теңдеулерді қарастыралық.
Анықтама 1. Егер сызықты дифференциалдық теңдеудегі:
1
n
2
Ly yn a yn1 a
yn2 a
n1
y a y
f x,
(1)
коэффициентті сызықты дифференциалдық теңдеулер деп аталады.
Жоғарғы ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер
Оң жағы нөлге тең болатын теңдеулер жүйесінің фундаменталдық шешімдер жүйесін табайық:
Оның дербес шешімін
L[y]=0 (2)
y ekx түрінде іздейміз, мұндағы k - қандай да бір тұрақты.
Осы тұрақтыны табалық. (2)-ге
y ekx қойсақ:
1
2
Le kx ekx k n a k n1 a
k n2 a
n1
k an
0 .
x :
ekx 0
болғандықтан,
y ekx
теңдеуінің шешімі болады, егер k
мінездемелік деп аталатын мынадай алгебралық теңдеудің түбірі болса:
1
n
k n a k n1 a
0 .
n 2
тоқталайық:
жағдайы үшін фундаменталдық шешімдер жүйесін табу мәселесіне
y py qy 0
. (3)
Бұл теңдеудің мінездемелік теңдеуі былай болады:
k 2 pk q 0 . (4)
1
Ол алгебралық квадраттық теңдеу болғандықтан, мынадай жағдайлар болуы мүмкін:
D p 2 4q 0 . Онда
k1 k2 - (4) теңдеуінің нақты түбірлері.
y ek1x
және
2
y ek2 x дербес шешімдері фундаменталдық шешімдер жүйесін құрайды, себебі
W
k1 k2 .
y1 , y2
y1 y1
y2
y2
ek1x
k ek1x
ek2 x
2
k ek2 x
e k1 k2 x 1
k1
1 e
k2
k1 k2 x
0 , өйткені
Сызықты теңдеулердің жалпы теориясын қолданып, (3) теңдеуінің жалпы шешімін аламыз:
1 2
y C ek1x C ek2 x
D p 2 4q 0 . Түбірлері түйіндес комплекс сандар:
k1,2
(5)
i . Теңдеудің
дербес шешімдері былай болады:
y1,2
e i x ex ei
ex cos x i sin x.
Сызықты операторлардың қасиеттерінен:
LU x iV x LU iLV 0 LU 0 және LV 0 екендігі шығады, яғни, теңдеудің
1
2
фундаменталдық шешімдер жүйесі Ендеше, теңдеудің жалпы шешімі:
y ex cos x , y ex sin x
функцияларынан тұрады.
1
y ex C cos x C
2
sin x. (6)
D p 2 4q 0 . Онда
k1 k2
k p . Тек бір ғана шешім табамыз:
2
y ekx .
1
Бірінші шешім
y1 -ге тәуелсіз теңдеудің екінші шешімін табамыз. Шешімді
y U xekx
2
түрінде іздейміз.
Ly ekx u 2k pu k 2 pk q u 0 u Ax B A 1,
B 0 u x.
1
Теңдеудің фундаменталдық шешімдер жүйесі мына түрде болады: y ekx ,
2 1 2
y xe kx , себебі W[ y , y ] 0. Онда берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі:
1 2
y C ekx C xe kx . (7)
Сонымен, жалпы жағдайда, (2) теңдеуінің шешімін алу үшін:
мінездемелік теңдеуін құру және оны шешу
теңдеудің фундаменталдық шешімдер жүйесін табу:
А) әрбір бір еселі k нақты түбіріне
y ekx
дербес шешімі сәйкес келеді.
Б) Бір еселі әрбір
k1,2 i
комплекс түбірлер жұбына
1
y ex cos x ,
y ex sin x
екі дербес шешім сәйкес келеді.
2
В) әрбір r - еселі k нақты түбіріне r дербес шешім сәйкес келеді:
y ekx ,
y xe kx ,
y x 2 ekx , ,
xr 1ekx .
2
3
Г) әрбір r -еселі
k i
комплекс түбірлеріне
2r шешім сәйкес келеді:
1
y ekx cos x ,
y xe kx cos x ,
y x 2 ekx cos x , ,
y xr 1ekx cos x ,
2
3
r
1
y ekx sin x ,
y xe kx sin x ,
y x 2 ekx sin x , ,
y xr 1ekx sin x ,
2
3
r
Дербес шешімдердің саны тура n -ге тең және олар фундаменталдық шешімдер жүйесін құрайды.
жалпы шешімін жазу:
y C1 y1 C2 y2 Cn yn .
Мысал 1. Берілген теңдеудің жалпы шешімін тап
y IV 2 y 0 .
Шешуі.
а) Мінездемелік теңдеуін құрып, оны шешеміз:
k 4 2 k 2 0 k 2 k 2 2 0 k
1,2
0 ,
k3,4 .
б) y1 ,
y2 ,
y3 , y4
фундаменталды шешімдер жүйесін табамыз.
k 0 - екі еселі түбір, онда:
y e0x 1,
y x e0x x.
1
2
k
2 y e
2x , k
2 y4 e
2x .
3
в) Жалпы шешімі:
y C1
x C e
2 x C e 2 x
3
4
Мысал 2.
yV 2 y y 0
1
а) k 5 2k 3 k 0 kk 2 12 0 k
0,
k i
- екі еселі түбір.
б) k 0 y1 1,
k i y2 cos x ,
y3 sin x ,
y4 x cos x ,
y5 x sin x .
в) y C1 C2 cos x C3 sin x C4 x cos x C5 x sin x .
Достарыңызбен бөлісу: |