Сабақтың басталуы (ұйымдастыру кезеңі): формасы, ұзақтығы, тиімділігі
Сан функциясы, оның анықталу облысы мен өзгеру облысы
жүктеу/скачать 286,04 Kb.
|
2 билет
- Бұл бет үшін навигация:
- Кездейсоқ шамалар
| Сан функциясы, оның анықталу облысы мен өзгеру облысы.
Айталық, Х және У нақты сандардан тұратын жиындар болсын. Анықтама. Егер белгілі бір ереже (заң) бойынша Х жиынын құрастыратын әрбір нақты санына У жиынын құрастыратын сандардың біреуі ғана сәйкес келсе, онда Х жиынында бір мәнді функциясы берілген дейді және осылайша анықталған функцияны сан функциясы деп айтады. Бұл анықтамадағы функциясы Х жиынын У жиынының ішіне бейнелейді. Нақты айнымалының нақты функциясы бір нақты сандар жиынын екінші нақты сандар жиынына, яғни түзудің нүктелер жиынын сол түзудің немесе басқа түзудің нүктелер жиынына бейнелейді. Егер болса, түзудің нүктелерінен тұратын У жиыны түгелдей функция мәндерінен тұрады. Бұл жағдайда функциясы Х жиынын У жиынына бейнелейді. айнымалысын тәуелсіз айнымалы немесе аргумент деп, ал айнымалысын тәуелді айнымалы немесе функция деп, пен -тің арасындағы байланысты функционалдық байланыс деп атайды. -тің мәнін табу үшін айнымалысына қолданылатын ереже символымен белгіленген. Мысалы, функциясындағы ережесін -тен түбір табу амалы атқарып тұр. Ал бұл сәйкестік ережені тек әрпімен ғана белгілейді емес, басқа да , , , т.т. әріптерімен де белгілей береді. Мысалы, , , , т.с.с., белгілеулер – түрліше функциялар. Бұл белгілеулерді былай оқу керек: игрек тең икстен эф; игрек тең икстен фи; игрек тең икстен пси; игрек тең икстен же т.с.с. Аргументтің жеке мәндеріне сәйкес функциясының мәндерін табу үшін, функциядағы аргумент -тің орнына берілген мәнді қойып есептеу керек. Оны былай белгілеп жазады: . Бұл функциясының нүктесіндегі мәні немесе санына тең деген сөз. Мысалы, функциясы үшін функциясының анықталу облысы деп функция мәндері өз мағынасын жоғалтпайтындай тәуелсіз айнымалы -тің барлық нақты мәндер жиынын яғни Х жиынын айтады, ал функцияның анықталу облысындағы қабылдайтын нақты мәндерінің жиынын, яғни У жиынын функцияның өзгеру облысы деп атайды. Мысалы, функциясының анықталу облысы барлық нақты сандар жиыны, ал оның өзгеру облысы – 1 мен 1-дің арасындағы (екі санды қоса алғандағы) барлық сандар жиыны болып табылады. функциясы үшін барлық оң сандар жиыны сол функцияның анықталу облысы, ал барлық нақты сандар жиыны өзгеру облысы болып табылады т.с.с. Функция графигі. Өзгеру облысы У жиынына тең Х жиынында анықталған функциясы берілсін. Біз жоғарыда Х және У жиындары түзудің нүктелер жиынын және функция Х жиынын У жиынына бейнелейтіндігін көрсеткенбіз. Енді осы перпендикуляр түзулерді нүктелер жиыны деп қарастырайық. Бұл екі түзудің біріншісінің (горизонталь түзудің) оң бағытын солдан оңға, екіншісінің (вертикаль түзудің) оң бағытын төменнен жоғары бағыттаймыз. Осы түзулер мен О нүктесін координаталар жүйесі, О нүктесін координаталар жүйесінің бас нүктесі, горизонталь түзуді абсциссалар өсі (ОХ), вертикаль түзуді ординаталар өсі (ОУ) дейді. Х жиынының нүктелерін абсциссалар өсінің, У жиынының нүктелерін ординаталар өсінің бойында жатқан нүктелер деп қарастырамыз. Х және У пар сандар координаталар жүйесіндегі нүктесін анықтайтыны белгілі (х,у) қос санына бір ғана М нүктесі сәйкес және керісінше). Айнымалы х өзінің өзгерту облысы Х жиынында, айнымалы у өзінің өзгерту облысы У жиынында өзгереді. Онда М нүктесінің де жазықтықтағы орны өзгеріп, ол нүкте жылжиды. Осындай жылжудан, жалпы алғанда, жазықтықтағы бір қисық сызық шығады. Бірақ та ылғи бұлай бола беруі шарт емес. Осындай нүктелердің жиынын функцияның графигі дейді. Сонымен мынадай анықтама беруге болады. Анықтама. функциясының графигі деп, координаталары осы теңдеуді қанағаттандыратын жазықтықтағы нүктелердің жиынын айтамыз. Ал, осы графиктің теңдеуі делінеді. Жоғарыда көрсетілгендей функцияның графигі жазықтықтағы сызық бола бермейді. Белгілі нүктелердің жиыны болғанымен, ол нүктелер бір сызық құрауы шарт емес. График – функцияның геометриялық кескіні, мағынасы болады. Ол көп жағдайларда функцияның мағынасын, қасиеттерін көрнекті түсінуге көмектеседі. Сондықтан, берілген функцияның графигін тұрғызудың маңызы өте күшті. 3.Функциялардың берілу тәсілдері. -функциясының берілуі аргумент -тің әрбір мәніне сәйкес келетін функциясы мәнін көрсету болып табылады. Функцияның негізгі үш берілу тәсілдерін келтірейік. а)Аналитикалық тәсіл. Бұл тәсілде айнымалы шамалар арасындағы тәуелділік функция мәнін алу үшін аргумент мәніне қандай амалдар орындау керек екенін көрсететін формула жәрдемімен беріледі. Мысалдар қарастырайық. 1. формуласы анықталу облысы сандық түзу нүктелері, ал өзгеру облысы [0,+[ сәулесі болатын функцияны анықтайды (1-сурет). 2.өрнегімен анықталу облысы кесіндісі, ал өзгеру облысы кесіндісі болатын функция беріледі (2-сурет). у
1-сурет х 2-сурет у у=х
0 х 3-сурет 4-сурет 3. Бұл функция бірнеше өрнектермен берілген. Ол сандық түзуінде анықталған, ал өзгеру облысы –І; 0 және І сандарынан тұрады (3-сурет). 4. y= түріндегі өрнекті Дирихле функциясы деп атайды. Бұл функцияның анықталу облысы сандық түзуі, ал оның өзгеру облысы 0 мен І сандары. Дирихле функциясының графигін сызу мүмкін болмайды. 5. y= функциясы. Абсолюттік шаманың анықтамасына сәйкес y= яғни бұл функция екі өрнекпен анықталады екен (4-сурет). Бұл функцияның анықталу облысы аралығы, ал өзгеру облысы жарты аралығы болады. а) Функцияның кестелік тәсілмен берілуі. Бұл тәсілде аргументтің жеке мәндеріне сәйкес тәуелді айнымалының мәндері кесте түрінде беріледі, яғни х пен у айнымалылары арасындағы сәйкестік ережесі х-тің жеке-жеке мәндеріне сәйкес келетін у-тің мәндері беріліп, осы мәндерден кесте құрылады:
Бұған, тригонометриялық функциялардың мәндері кестесі, логарифмдік кесте, т.с.с.мысал болады. Бұл тәсілдің ұтымдылығы аргументтің мәніне сәйкес функция мәнін анықтау үшін, оны формулаға қойып функция мәнін есептеудің қажеті жоқ. Дайын қорытындыдан бірден табылады. Бірақ та аргументтің кестеде көрсетілген мәндерінен басқа мәндердегі функция мәндерін анықтау мүмкін емес. Ол үшін берілген кестеге сүйеніп аналитикалық өрнек құру керек. Бұл тәсіл де практикада қолданылады. Мысалы, физикалық не химиялық тәжірибелер қорытындылары, геологиялық зерттеулер нәтижелері т.с.с. б) Графиктік тәсіл. Функция берілуінің графиктік тәсілі, әсіресе х пен у айнымалылары арасындағы тәуелділік график түрінде берілетін физикалық өлшеулер практикасында жиі қолданылады. Көп жағдайларда, мұндай графиктер өзі жазатын құралдар жәрдемімен сызылады. Атап айтқанда, әртүрлі биіктіктегі атмосфера қысымын өлшеу үшін өзі жазатын құрал – барограф қолданылады. Ол биікке тәуелді атмосфера қысымының өзгеруін қисық сызық түрінде жылжымалы жолақша қағазға сызады. Бұл тәсілдің артықшылығы, оның көрнектілігі болады. Кері функциялар. жиынында анықталған функциясының өзгеру облысы жиыны болсын. Функцияның анықтамасынан жиынынан алынған әрбір элементіне ережесі бойынша жиынында жататын бір ғана элемент сәйкестендіріледі . Егер керісінше жиынынан алынған әрбір элементіне жиынында жататын бір ғана элементін ережесі бойынша сәйкестендіру мүмкін болса, ережесі жиынында анықталған айнымалы -тің функциясын анықтайды: . Бұл функцияны берілген функциясына кері функция дейміз. функциясының өзін тура функция деп те атайды. формуласында аргумент, ал функция ролін атқарып тұр. Әдетте –пен аргументті, ал -пен функцияны белгілейтінді. Сондықтан әрпімен белгіленген функциялық тәуелділікті біз мына түрде жазаайық:.Осылайша анықталған функциясы функциясына қатысты алғанда кері функция деп аталады. Мысалдар.1) теңдігінен шығады. Сондықтан функциясы функциясына кері функция болады. 2) теңдігінен шығады. Сондықтан функциясы функциясына кері функция болады. 3) теңдігінен болғанда шығады. Сондықтан функциясы интервалында қарастырылып отырған функциясына кері функция болады. функциясы мен оған кері функциясының анықталу облысы мен өзгеру облыстарының рольдері өзара алмасқандай болатынын ескерте кетейік. функциясы үшін анықталу облысы болатын облыс кері функция үшін өзгеру облысы болып, ал функциясы үшін өзгеру облысы болатын облыс кері функциясы үшін анықталу облысы болып табылады. Мысалы, функциясы үшін барлық нақты сандар жинағы анықталу облысы болып, ал барлық оң сандар жинағы өзгеру облысы болып табылады. Оған кері функциясы үшін керісінше, барлық оң сандар жинағы анықталу облысы да, ал барлық нақты сандар жинағы өзгеру облысы болып келеді. Кез келген функциясына кері функциясы бола бере ме? Бұған жауап беру үшін мынадай екі мысал қарастырайық. 5-мысал. формуласы бойынша у-тің әрбір мәніне х-тің екі мәні сәйкес келеді, мысалы, мәніне және мәндері сәйкес келеді, мәніне және мәндері сәйкес келеді т.с.с. Сондықтан, егер функциясы сан түзуінің өн бойында (немесе х-тің барлық нақты мәндерінде) қарастыратын болсақ, онда оған кері функция болмай шығады. Ал егер де оны х-тің тек оң мәндерінде ғана қарастыратын болсақ, онда ол функцияға кері функция бар болып шығады.Оң сан квадратының мәні бойынша бұл сан бір мәнді анықталады. Бұл жағдайда кері функцияны түрінде жазуға болады. Күрделі функция. Егер у айнымалысы u –дың функциясы, яғни , ал u айнымалысы -тің функциясы, яғни болса, онда у-ті -тің күрделі функциясы немесе функцияның функциясы деп атайды да, оны деп жазады, мұндағы u аралық аргумент деп аталады. Күрделі функцияның анықталу облысы аралық аргументтің анықталу облысына тең немесе одан кем болады. Мысалы, күрделі функциясының анықталу облысы жиыны, ал аралық аргумент функциясының анықталу облысы сандық осьтің барлық нүктелері болады. 10.Айқындалған және айқындалмаған функциялар. Егер -тәуелсіз және у-тәуелді айнымалыларының арасындағы байланыс теңдеуімен берілсе, онда у-ті -тің айқындалмаған функциясы деп атайды. Ал егер бұл байланыс өрнегімен берілсе, онда у-ті -тің айқындалған функциясы деп атайды. Егер алдыңғы теңдеуде у-ті арқылы өрнектеу мүмкін болса, онда функцияның айқындалмаған түрінен айқын түріне көшуге болады. Мысалы, айқындалмаған функция теңдеуімен берілсін. Егер осы теңдеудегі у-ті арқылы өрнектесек, онда функцияның айқын түрін аламыз. Функцияның айқындалмаған түрінен оның айқын түріне өту мүмкіндігі әрқашан бола бермейді. Мысалы, функциясын айқын түрде жазуға болмайды. 11.Параметрлік түрде берілген функциялар. Егер жиынында анықталған және функциялары берілсе, Т жиынынан алынған әрбір t элементіне ережесі бойынша бір элементі, ережесі бойынша бір элементі сәйкес келеді. Осылай сәйкестіктерден табылған әр элементіне у-элементін сәйкестендірсек, бұл сәйкестік жаңа функциясын анықтайды. Осы функцияны (1) параметрлік түрде берілген функция, тәуелсіз айнымалы t-ны параметр дейді. Параметрлік түрде берілген функцияның аналитикалық әдіспен берілу формуласын табу үшін функциясына кері функция бар деп алып (1) жүйенің бірінші теңдеуін t-арқылы шешеміз: Сол жүйенің екінші теңдеуінен параметрлік түрде берілген функция мынадай сәйкестік ережесімен берілген күрделі функциясына айналады. -пен у-ті хОу жазықтығында нүктенің координаталары деп қарастырсақ, t-ның әр мәніне (1) жүйе жазықтықтың бір нүктесін сәйкестендіреді. Параметр t өзінің өзгерту облысы Т жиынында түрліше мәндер қабылдағанда оған сәйкес нүктенің жиыны белгілі сызық болуы мүмкін. (1) жүйені осы сызықтың параметрлік теңдеуі дейді. Сонымен (1) жүйе Т жиынын жазықтықтың нүктелер жиынына бейнелейді. 3. Кездейсоқ шамалар Анықтама. Кездейсоқ шама деп тәжірибе нәтижесінде алдын-ала белгісіз және көптеген себептерге байланысты өзінің мүмкін сандық мәндерінің тек қана біреуін қабылдайтын шаманы айтамыз. Сонымен, тәжірибе нәтижесінде кездейсоқ оқиғаның пайда болуы немесе пайда болмауы алдын-ала белгісіз болса, ал кездейсоқ шама міндетті түрде пайда болады, тек оның қандай мәнді қабылдайтыны алдын-ала белгісіз. Мысалы, тиын екі рет лақтырылды. «Цифр» жағының пайда болуы немесе пайда болмауы кездейсоқ оқиға, ал оның пайда болу саны кездейсоқ шама болады. Бұл жағдайда кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері 0,1,2 болады, яғни «цифр» жағы пайда болмайды немесе 1 рет, немесе 2 рет пайда болады. Кездейсоқ шамалар бас әріптерімен, ал оның мүмкін мәндері кіші әріптерімен белгіленеді. 1-мысал. Жаңа туған 100 сәбидің ішіндегі ер балалар саны кездейсоқ шама, ал оның мүмкін мәндері 0,1,2,..., 100 болады. 2-мысал. Зеңбіректен атылған снарядтың ұшу қашықтығы кездейсоқ шама болады. Ұшу қашықтығы оптикалық көздеуштің орналасуына, желдің бағытымен жылдамдығына және т.б. көптеген себептерге байланысты. Бұл жағдайда осы шаманың мүмкін мәндері қандай да бір (а,в) аралығында жатады. 3-мысал. Тәуелсіз тәжірибедегі А оқиғасының пайда болу саны кездейсоқ шама болады, ал оның мүмкін мәндері 0,1,2,3,...., болады. Кездейсоқ шамалар дискретті (үзілісті) және үзіліссіз кездейсоқ шамалар болып екіге бөлінеді. Дискретті кездейсоқ шамалар Анықтама. Х кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері арқылы бүтін сандар немесе тізбек түрінде жазылса, онда ол дискретті (үзілісті) кездейсоқ шама деп аталады. Дискретті Х кездейсоқ шаманың мәндері мен олардың сәйкес ықтималдықтарының арасындағы байланысты дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы деп атайды. Ол кесте, график және аналитикалық түрде беріледі. Кесте түрінде былай беріледі:
мұндағы , , . Графиктік түрде былай беріледі: ол үшін декараттық координаталар жүйесінде нүктелерін саламыз, мұндағы - кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері, ал - сәйкес ықтималдықтары. Егер осы нүктелерді кесінділер мен қоссақ, онда пайда болған фигура үлестірім көпмүшесі деп аталады. 4-мысал. Екі тиынды лақтырғанда цифр жағының пайда болу саны х – кездейсоқ шама. Оның үлестірім заңын табу керек. Шешуі. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері . Онда сәйкес ықтималдықтары . Осыдан
Тексеру: . жүктеу/скачать 286,04 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|