«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
Интерполяциялау есебінің қойылуы
жүктеу/скачать 1,3 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лагранждың интерполяциялау формуласы
| Интерполяциялау есебінің қойылуы.
Техникада, физикада, экономикада т.с. жаратылыс тану ғылымдарында функцияның мәні таблица түрінде беріледі. Мысалы  нүктелерінде функцияның мәндері-  беріледі. Таблица арқылы берілген функцияның кемшілігі- оның кез-келген, таблицада көрсетілмеген, нүктедегі мәнінің белгісіздігі.
Көп жағдайда аналитикалық жолмен берілген  функциясының мәнін есептеу өте күрделі, немесе таблица арқылы берілген функцияның мәндері өте қымбатқа түсетін эксперименттер арқылы алынған болса, онда функциясын, мәні оңай есептелінетін, қарапайым  функциясымен алмастырған тиімдірек болады. Қысқаша айтқанда функцияның аргументінің кез-келген мәнінде, белгілі бір мағынада,  болуы керек. Осы функциясын табудың мәселелерін- интерполяциялау теориясы дейміз.
Енді осы интерполяциялау теориясының ең қарапайым түрін қарастырайық.  кесіндісінде жататын  нүктелері және осы нүктелердегі функциясының мәндері-  берілген.
 болатындай функциясын (интерполяциялаушы функция) табу керек.
Мұның геометриялық мағынасы:  нүктелерінен өтетін  сызығын табу керек деген сөз.
1-сурет
Есептің бұл қойылымында көптеген шешулер болуы, немесе болмауы да мүмкін. Алайда кез-келген функцияның орнына дәрежесі n-нен үлкен емес, Pn(xі)=f(xі) (і=0,...,n) теңдігін қанағаттандыратын Pn(x) алгебралық көпмүшелігін алатын болсақ, онда есептің шешуі біреу ғана болады. Pn(x) көпмүшелігін-интерполяциялық көпмүше дейді.
Егер x0  болса, онда функциясының мәні, тар мағанада интерполяциялау,  болса, экстрополяциялау арқылы табылады дейді. Алдағы уақытта жалпы функциясын табуды- интерполяциялау дейміз.
Лагранждың интерполяциялау формуласы.  кесіндісінде жататын  нүктелері және осы нүктелерде функциясының мәндері-  берілген. Осы функцияны интерполяциялау үшін n дәрежелі алгебралық көпмүшені
 (2.1)
қолданамыз. Мұндағы  болатындай етіп табу керек.
Кез-келген үзіліссіз  (2.2)
теңдеулер жүйесінің аңықтауышы нольден айырықша (Вандермонд аңықтауышы).  көпмүшесін,  нүктелері бойынша тұрғызылған, функциясын интерполяциялаушы көпмүше дейміз.
(2.2) теңдеулер жүйесінің шешімдерін әртүрлі жолмен табуға болады. Оның көп қолданатын түрлері Лагранж бен Ньютонның интерполяциялық көпмүшеліктері. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігін  (2.3)
түрінде қарастырамыз. (2.2) шартын ескере отырып,  (2.4)
теңдігін аламыз. Егер  (2.5)
болса, онда (2.4) шарты орындалады.  дәрежелі көпмүше болғандықтан  коэффициентін де n дәрежелі көпмүше ретінде іздеген дұрыс. Атап айтқанда көпмүшесін
 (2.6)
түрінде іздейміз.  шартың ескере отырып, (2.6) формуладан
және
 (2.7)
формуласын табамыз. Сонымен Лагранж көпмүшесі толық былайша жазылады.  . (2.8)
Егер  десек, онда 
ал Сондықтан Лагранж көпмүшесін былайша ықшамдап жазуға болады:  (2.9)
Енді интерполяциялық Лагранж көпмүшесінің жіберетін қатесін қарастырайық. функциясын көпмүшесімен алмастырғанда жіберетін қатеміз
 (2.10)
Кейде Кез-келген  нүктесіндегі қалдықты табу үшін мына көмекші функцияны қарастырамыз:
 , (2.11)
мұнда -тұрақты сан. санын  (2.12)
деп алсақ, онда Енді функциясының  кесіндісінде үзіліссіз  ретті туындысы бар болсын. Сонда  , Роль теоремасы бойынша, кесіндісінде ең болмағанда n+1 нүктеде нөлге тең, ал  -ењ , болмағанда n нүктеде нөлге тең, т.с.  ең болмағанда бір нүктеде нөлге тең болады. Сонымен  табылады да  болады.
Ал  болғандықтан  . (2.13)
(2.12) және (2.13) формулаларды ескере отырып,  (2.14)
формуласын аламыз. Осыдан  функциясын жоғарыдан бағалау арқылы
 . (2.15)
теңсіздігін аламыз, мұндағы  .
Егер Сондықтан Лекция 4. жүктеу/скачать 1,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
коэффициенттерін
болатындай, яғни 
ең болмағанда 
нүктеде нольге тең болады.
.