«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
Бөлінген айырымдар және Ньютон формуласы
жүктеу/скачать 1,3 Mb.
|
| Бөлінген айырымдар және Ньютон формуласы.
Бізге  нүктелерінде  функциясының мәндері берілген және  деп ұйғрасақ. Нольдік ретті бөлінген айырымдар деп  нүктелеріндегі функциясының мәні-  -ді айтамыз. Бір ретті бөлінген айырым деп
өрнектерін айтамыз. Бір ретті бөлінген айырымдар арқылы екі ретті бөлінген айырымдарды алуға болады: 
Егер k-ретті бөлінген айырымдар  белгілі болса, онда k+1- ретті бөлінген айырым былайша табылады:
 .
k-ретті бөлінген айырымды былайда табуға болады:  . (3.1)
(3.1) формуласының дұрыстығын математикалық индукция арқылы дәлелдеуге болады. Егер k=0 болса, онда  ал k=1 болса, онда
Енді (3.1) формуласы  (3.2)
Бұл өрнекте  және  бірден ғана кездеседі, ал қалған  квадрат жақшаның ішіндегі қосындылардың екеуінде де кездеседі. Оларды бір-біріне қосу арқылы (3.1) формуласын аламыз. Бізге бұл формуланың, алдағы уақытта, дербес түрі
 (3.3)
керек болады. Енді Лагранж көпмүшелігі-  функциясын былайша жазайық.
 (3.4)
Интерполяцияның (2.4) шарты бойынша 
Сондықтан  (3.5)
мұндағы Бұл коэффициент мына теңдіктен табылады:
Осыдан  (3.7)
формуласын аламыз. Енді 
екенін ескерсек, онда  (3.8)
(3.8) формуласын (3.3) формуласымен салыстыра отырып,  (3.9)
екенін көреміз. Осыдан (3.4), (3.5), (3.9) формулаларын ескере отырып,  (3.10)
формуласын аламыз. (3.10) түрінде жазылған Лагранж көпмүшесін Ньютон интерполяциялық формуласы дейміз. Алдағы уақытта оны  деп белгілейміз.Біз Ньютон формуласының қалдығы Лагранж формуласының қалдығымен бірдей екенін білеміз. Енді Ньютон формуласының қалдығын басқа түрде жазайық. нүктесі  қалдығының шамасын қарастыратын нүкте болсын.
Онда 
теңдігінен 
формуласын аламыз. Осыдан  (3.11)
(2.14), (3.11) формулаларын салыстыра отырып,  (3.12)
теңдігі орындалатынын көреміз. (3.12) формуласы функцияның Лекция 5 -Лекция 6. жүктеу/скачать 1,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|
ретті бөлінген айырымдар үшін дұрыс деп алып, ретті бөлінген айырымдар үшін де дұрыс екенін көрсетейік:
j-дәрежелі, 
нүктелерінде нөлге тең, алгебралық көпмүшелік болады, яғни 
сандық коэффициент.
. (3.6)
екенін ескере отырып,
нүктесі табылып, және сол нүктеде 
ретті туныдысы мен