«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені



бет6/40
Дата08.06.2018
өлшемі1,3 Mb.
#41228
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40

3.Келісілген нормалар. Көптеген есептерде матрица мен вектордың нормалры қатар қолданылатындықтан, олар бір-бірімен келісілген болуы тиіс.

Анықтама. Егер А матрицасы мен Х векторы үшін шарты орындалса, онда А матрицасы мен Х векторының нормалары келісілген дейміз.

Матрицаның М(А) нормасы вектордың кубтық, октаэдрлік, сфералық нормаларымен келісілген, ал N(A) тек сфералық нормамен келісілген.

Енді Х векторының нормасымен келісілген А матрицасының, шамасы жағынан ең кіші, нормасын табуды қарастырайық.

А матрицасының нормасы ретінде ||X||=1 болған жағдайдағы АХ векторының ең үлкен нормасын алсақ, яғни

(1.7)

болса, онда бұл шама норманың анықтамасының барлық төрт шартын қанағаттандырумен қатар келісілгендіктің де шартын қанағаттандырады:
1-шарт. Айталық, . Онда ||X||=1 вектор табылып, болады. Сондықтан болғандықтан >0. Егер А=0 болса, онда .

2-шарт. Екінші шарттың орындалуы мына теңдіктерден шығады:

.

Келісілгендік шарт.

Егер кез-келген вектор болса, онда векторының нормасы ||Х||=1. Сондықтан .

3-шарт. А+В матрицасы үшін ||A+B||=||(A+B)X0|| теңдігі орындалатындай нормасы бірге тең (|(X0||=1) Х0 векторын табамыз. Сонда


4-шарт. АВ матрицасы үшін ||X0||=1 және ||ABХ0||=||AB|| теңдігін қанағаттандыратын Х0 векторын табамыз. Сонда .

Сонымен біз (1.7) нормасы норманың анықтамасының барлық шарттарын және келісілгендік шартын қанағаттандыратындығын көрдік. А матрицасының (1.7) түріндегі нормасын берілген вектордың нормасына бағынған норма дейміз.

Енді бағынған норманың мәні басқа келісілген нормалардың мәнінен үлкен еместігін көрсетейік. Шынында да, матрицаның L(A)-вектордың нормасымен келісілген нормасы, ал -вектордың нормасына бағынған нормасы болсын.

Онда нормасы бірге тең Х0 векторы табылып ||A||=||0|| теңдігі орындалады. Ал екенін ескерсек, онда екенін көреміз.

Енді жоғарыда көрсетілген вектордың нормаларына бағынған матрицаның нормасын қарастырайық:


  1. .

Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы

. (1.8)

Шынында да, ||Х||1 =1 болсын. Сонда

,яғни . Енді шынында да өрнегіне тең екенің дәлелдейік.

Ол үшін ||X0||=1 және болатын Х0 векторын тұрғызайық. Айталық, өзінің ең үлкен мәнін і=j болғанда қабылдасын. Ал Х0 векторының координатасын



деп алсақ, онда ||X0||=1. Сонымен қоса және

,

болғандықтан

.

Осыдан .

Сонымен

.

2.

Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы-

. (1.9)

Шынында да болса, онда



Енді Х0 векторын былайша алайық: өрнегі өзінің ең үлкен мәнін k=j болғанда алатын, ал kj болғанда Хk(0) =0және Хj(0) =1 болсын. Сонда

.

Сонымен

.

3. .

Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы-



мұнда л-А*А матрицасының ең үлкен меншікті саны. Шынында да,



Бірақ |AX|2=|АХ,АХ|=|Х,А*АХ|, ал А*А-эрмиттік (симметриялы оң анықталған) матрица. Айталық, л1 ең үлкен меншікті сан болсын, онда |X|=1 болғанда мах(Х,А*АХ)= л1.


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   40




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет