«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
жүктеу/скачать 1,3 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы
- Бірақ |AX|2=|АХ,АХ|=|Х,А*АХ|, ал А*А-эрмиттік (симметриялы оң анықталған) матрица. Айталық, л1 ең үлкен меншікті сан болсын, онда |X|=1 болғанда мах(Х,А*АХ)= л1.
3.Келісілген нормалар. Көптеген есептерде матрица мен вектордың нормалры қатар қолданылатындықтан, олар бір-бірімен келісілген болуы тиіс. Анықтама. Егер А матрицасы мен Х векторы үшін  шарты орындалса, онда А матрицасы мен Х векторының нормалары келісілген дейміз.
Матрицаның М(А) нормасы вектордың кубтық, октаэдрлік, сфералық нормаларымен келісілген, ал N(A) тек сфералық нормамен келісілген. Енді Х векторының нормасымен келісілген А матрицасының, шамасы жағынан ең кіші, нормасын табуды қарастырайық. А матрицасының нормасы ретінде ||X||=1 болған жағдайдағы АХ векторының ең үлкен нормасын алсақ, яғни  (1.7)
болса, онда бұл шама норманың анықтамасының барлық төрт шартын қанағаттандырумен қатар келісілгендіктің де шартын қанағаттандырады: 1-шарт. Айталық,  . Онда ||X||=1 вектор табылып,  болады. Сондықтан болғандықтан >0. Егер А=0 болса, онда  .
2-шарт. Екінші шарттың орындалуы мына теңдіктерден шығады:  .
Келісілгендік шарт. Егер кез-келген вектор  болса, онда  векторының нормасы ||Х||=1. Сондықтан  .
3-шарт. А+В матрицасы үшін ||A+B||=||(A+B)X0|| теңдігі орындалатындай нормасы бірге тең (|(X0||=1) Х0 векторын табамыз. Сонда 
4-шарт. АВ матрицасы үшін ||X0||=1 және ||ABХ0||=||AB|| теңдігін қанағаттандыратын Х0 векторын табамыз. Сонда  .
Сонымен біз (1.7) нормасы норманың анықтамасының барлық шарттарын және келісілгендік шартын қанағаттандыратындығын көрдік. А матрицасының (1.7) түріндегі нормасын берілген вектордың нормасына бағынған норма дейміз. Енді бағынған норманың мәні басқа келісілген нормалардың мәнінен үлкен еместігін көрсетейік. Шынында да, матрицаның L(A)-вектордың нормасымен келісілген нормасы, ал  -вектордың нормасына бағынған нормасы болсын.
Онда нормасы бірге тең Х0 векторы табылып ||A||=||AХ0|| теңдігі орындалады. Ал  екенін ескерсек, онда  екенін көреміз.
Енді жоғарыда көрсетілген вектордың нормаларына бағынған матрицаның нормасын қарастырайық:  .
Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы  . (1.8)
Шынында да, ||Х||1 =1 болсын. Сонда  ,яғни  . Енді  шынында да  өрнегіне тең екенің дәлелдейік.
Ол үшін ||X0||=1 және  болатын Х0 векторын тұрғызайық. Айталық,  өзінің ең үлкен мәнін і=j болғанда қабылдасын. Ал Х0 векторының координатасын
деп алсақ, онда ||X0||=1. Сонымен қоса  және
 ,
болғандықтан  .
Осыдан  .
Сонымен .
2. 
Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы-  . (1.9)
Шынында да  болса, онда
Енді Х0 векторын былайша алайық:  өрнегі өзінің ең үлкен мәнін k=j болғанда алатын, ал kj болғанда Хk(0) =0және Хj(0) =1 болсын. Сонда
 .
Сонымен  .
3.  .
Бұл нормаға бағынған матрицаның нормасы- 
мұнда л-А*А матрицасының ең үлкен меншікті саны. Шынында да, 
Бірақ |AX|2=|АХ,АХ|=|Х,А*АХ|, ал А*А-эрмиттік (симметриялы оң анықталған) матрица. Айталық, л1 ең үлкен меншікті сан болсын, онда |X|=1 болғанда мах(Х,А*АХ)= л1. жүктеу/скачать 1,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|