«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері
жүктеу/скачать 1,3 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Векторлар мен матрицалардың нормалары және олардың негізгі қасиеттері.
- 1.2.Матрицалардың нормалары
| Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу әдістері
Теңдеулер жүйелерін шешу жолдары әдетте, дәл және итерациялық әдістер болып екі топқа бөлінеді. Дәл әдістер орындалатын арифметикалық амалдар саны санаулы болатын өрнектерден тұрады. Теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын Крамер, Гаусс, қуалау әдістері осы топқа жатады. Жүйені анықтайтын деректер дәл берілгенде және есептеулер дәл орындалғанда, олар жүйенің дәл шешімін беруі тиіс. Итерациялық әдістер бір немесе бірнеше параметрлері үнемі өзгеріп тұратын алгебралық біртекті өрнектерден құралады. Олар жүйенің жуық шешімін векторлар тізбегінің шегі ретінде анықтайды. Тізбектелген алгебралық өрнектерді итерациялық әдістің есептеу алгоритмі деп атайды. Енді жоғарыда аталған мәселелерге жеке-жеке тоқталайық. 1. Векторлар мен матрицалардың нормалары және олардың негізгі қасиеттері. Векторлардың нормалары. Rn векторлық кеңістікте  векторы берілсін. Мұндағы хі-вектордың і-координаты.
Анықтама. Х векторының нормасы-||X|| деп мна шарттарды қанағаттандыратын теріс емес санды айтамыз: ||X|| >0 егер  болса және ||X||=0 егер Х=0 болса;
||cX||=|c| ||X|| , с-кез-келген сан; 3) ||X+У|| < ||X||+||У|| (үшбұрыш теңсіздігі) . Соңғы екі шарттан мына теңсіздікті алуға болады ||X-У|| > ||X||-||У||. Шынында да ||X|| =||X+У-У|| < ||X-У||+||У||. Осыдан ||X|| - ||У|| <||X-У||. Сызықтық алгебрада вектордың төмендегі үш нормасы жиі қолданылады: 1)  (кубтық норма); (1.1)
2)  (октаэдрлік норма); (1.2)
3)  (сфералық норма); (1.3)
Соңгы норманы вектордың ұзындығы дейді. Бұл үш нормада анықтаманың үш шартын да қанағаттандырады. Бірінші және екінші шарттардың орындалуы айқын болғандықтан, бұлар үшінші шартты да қанағаттандыратының көрсетейік. Бірінші және екінші нормалар үшін мына теңсіздіктер орындалады:  ;
 ;
Ал үшінші норма үшін Коши-Буняковский теңсіздігін пайдалансақ:  Осыдан  .
Егер  , оң нақты сандары үшін векторлардың нормалары  , мына шартты қанғаттандырса
 , онда оларды эквивалентті нормалар дейді. Жоғарыда көрсетілген нормалар өзара эквивалентті. өйткені олар мына теңсіздіктерді қанағаттандырады.
 (1.4)
 (1.5)
 (1.6)
(1.4),(1.5) теңсіздіктері мен (1.6) теңсіздігінің оң жағы айқын болғандықтан, біз (1.6) теңсіздігінің сол жағын дәлелдесек болғаны. Шынында да  .
Осыдан  .
Х(к)-векторлар тізбегінің Х векторына жинақталуы үшін  шартының орындалуы қажетті және жеткілікті. Бұл шарт кубтық норма үшін айқын, ал қалған екі норма үшін бұл шарттың орындалуы (1.4),(1.5) теңсіздіктерінен шығады. Сондықтан итерациялық әдістердің жинақталуын зерттегенде, векторлардың кез-келген, жоғарыда көрсетілген нормаларын пайдалануға болады.
1.2.Матрицалардың нормалары. Анықтама. Берілген А квадрат матрицаның нормасы-  деп теріс емес және келесі төрт шартты қанағаттандыратын санды айтамыз:
 , егер  және =0, егер А=0;
 ;
 ;
 .
Матрицаның нормасын әртүрлі жолдармен алуға болады. Мысалы көп қолданылатын нормаларға мына нормаларды жатқызуға болады:  ,
 .
Бұл нормалар бірінші үш шартты қанағаттандыратыны айқын болғандықтан 4-ші шарттың орындалуын дәлелдейік: Айталық, А=(аіj ), B=(bіj ) болсын. Онда 
Сондықтан 
Дәл сол сияқты  .
Коши-Буняковский теңсіздігі бойынша  .
Осыдан  .
Яғни  .
жүктеу/скачать 1,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|