Сондықтан (1.10) формуласы арқылы табылған матрицаның нормасын - спектрлік норма дейді. Осы формуланы пайдаланып А-1 кері матрицасының спектрлік нормасын анықтауға болады:  , мұнда лk(А'A) - A'A матрицасының меншікті сандары.
Матрицалар мен векторлар тізбегінің жинақталуы.
Сызықтық алгебрадағы шектер туралы түсініктер көбіне итерациялық әдістерді қарастырған кезде пайдаланылады. Сондықтан біз матрица мен векторлар тізбектерінің жинақталуы туралы ұғымды және матрица мен векторлар тізбегінің жинақталу шаттарын қарастырамыз.
Матрицалар мен векторлар тізбегінің шегі туралы түсінік.
Айталық, берілген  векторлар тізбегінің координаталары
х1(1),…, хn(к),…; … ; х1(k),… хn(k) болсын.
Егер {X(к)} тізбегі Х=(x1, x2, … ,xn) векторына жинақталатын болса, онда оны былайша жазады:
 , немесе Х(к)Х.
Бұл жағдай  (і=1,…,n) болғанда орындалады.
Ал  жинақталатын қатар дейміз, егер  бар болса және мұны қатардың қосындысы дейміз.
Енді А(1), А(2), … , А(к), … матрицалар тізбегі берілсін және әрбір А(к)={aіj(k)} болсын. Егер барлық і,j үшін  шарты орындалса, онда {А(k)} тізбегі А={aіj} матрицасына жинақталады дейміз және оны былай жазады:
 , немесе A(к)A .
Егер квадрат матрицалар тізбегі {А(k)} ерекше емес А матрицасына жинақталатын болса, онда жеткілікті үлкен к үшін А(k) матрицасының кері матрицасы бар болады және  .
Шынында да, егер A(к)A болса, онда A(к) матрицасына сыбайлас матрица - В(к), А матрицасына сыбайлас В матрицасына жинақталады. Себебі В(к) мен В-ның элементтері тиісінше А(к) мен А-ның элементтерінең тұратын полином.
Сол себебті  және к-ның белгілі бір мәнінен бастап  . Осыдан (A(к))-1A-1 , себебі  .
Теорема. Егер А матрицасы {А(k)} тізбегінің, ал F-{F(k)} тізбегінің шегі болса, онда А(k) Х(k)= F(k) жүйесінің шешімі
АХ=F жүйесінің шешіміне жинақталады.
Егер матрицаның элементтері t параметрі бойынша дифференциалданатын болса, онда .
Егер A(t)={aіj(t)}1n болса, онда A'(t)={a'іj (t)}1n және мына дифференциялдау ережелері орындалады:
Жинақтылық теоремалары.
2.1-Теорема. Аm0 болуы үшін, А матрицасының барлық меншікті санының модулі бірден кіші болуы қажетті және жеткілікті.
2.2-Теорема.  болуы үшін А матрицасының ең болмағанда бір нормасы ||A||<1 болуы жеткілікті.
2.3-Теорема. Матрицаның кез-келген нормасының мәнінен меншікті санының модулінің мәні үлкен болмайды.
2.4-Теорема.  қатары (Е-А)-1 матрицасына жинақталуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.
2.5-Теорема. Егер ||A||<1 болса, онда  .
2.6-Теорема. Егер ||A||<1 болса, онда (Е-А)-1 бар болады және  .
Лекция 7. Гаусс әдісі.
Бізге
АХ=F (4.1)
Теңдеулер жүйесі берілсін және |А|0 дейік. Онда бұл жүйенің шешуін
Х=A-1F түрінде жазуға болады. Осыдан (4.1) теңдеулер жүйесін шешу үшін А-1-ді табу керек. Бірақ А-1-ді табу көптеген жағдайда тиімді болмағандықтан, оны таппай-ақ жүйенің шешуін іздестіретін жолдарды қарастыруға тура келеді. Сондай жолдардын кең тараған түрі Гаусс әдісі болып табылады. Онын әртүрлі есептеу алгоритмдері бар болғандықтан, біз тек бір ғана қарапайым түрін қарастырамыз.
Гаусс әдісінің есептеу алгоритмі.
Айталық,
 (і=1,…,n ) (4.2)
теңдеулер жүйесін шешу керек болсын.
Егер (4.2) жүйесінің матрицасының элементтері і>k болғанда aіk=0 болса , онда (4.2) жүйенің шешуі былайша табылады :
 (і=1,…,n). (4.3)
Сондықтан Гаусс әдісі берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты матрица түріне түрлендіруге негізделген.
Бұл түрлендіру былайша жүргізіледі.
Айталық, (4.2) жүйесінде а110 болсын.(ал а11=0 болса, онда жүйеден аkl0 коэффициенті бар теңдеуді бірінші теңдеумен алмастырамыз) Бірінші теңдеуді а11-ге бөлу арқылы
х1+С12х2+ ...+С1nxn=y1 (4.5)
теңдеуін аламыз. Мұнда  , (j=2,…,n) ,  .
Енді қалған
aі1x1+aі2x2+…+aіnxn=fі (і=2,…,n) (4.6)
теңдеулер жүйесінен (4.5) теңдеуін aі1 -ге көбейтіп алып тастасақ, онда мынандай теңдеулер жүйесін аламыз.
x1+С12х2+ . . .+C1jxj+. . .+C1nxn=y1
a22(1)x2+. . .+a2j(1)xj+. . .+a2n(1)xn=f2(1) (4.7)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
an2(1)x2+. . .+anj(1)xj+. . .+ann(1)xn=fn(1)
Мұнда aіj(!)=aіj-C1j aі1,
fі(1)=fі-y1aі1 (і,j=2,3,…,n) (4.8)
(4.7) теңдеулер жүйесінде х1 белгісізі тек бірінші теңдеуде болғандықтан, егер
 (і=2,…,n) (4.9)
теңдеулер жүйесін қарастырамыз. Егер а22(1) 0 болса, онда жоғарыдағы тәсілді қолдану арқылы мына теңдеулер жүйесіне келеміз:
x1+C12x2+ . . . +C1nxn=y1
x2+C23x3+…+C2nxn=y2
a33(2)x3+…+C3nxn=f3(2) (4.10)
--------------------
an3(2)x3+…+Cnnxn=fn(2).
Мұнда  ,
aіj(2)=aіj(1)-C2j aі2(1) ,
fі(2)=fі(1)-y2aі2 ( і,j=3,…,n).
Достарыңызбен бөлісу: |
