Сборник научных статей международной научно-практической конференции «Современные тренды педагогического образования»

175 
1-сурет 
1
0
,
0
:
1
:
:






x
y
AB
y
x
BC
y
x
AC
Теорема. 
Бірінші түйіндес Дарбу есебінің шешімі бар және жалғыз. Ол келесі түрде 
жазылады: 
 




















2
1
2
1
)
(
,
y
x
y
x
y
x
y
x
u



 
Дербес туындылар теңдеулерін іріктеу 
Екінші ретті дербес туындыоар теңдеуін қарастырамыз 
 
 
 




















y
u
x
u
u
y
x
F
y
u
y
x
c
y
x
u
y
x
b
x
u
y
x
a
,
,
,
,
,
,
2
,
2
2
2
2
2
(3) 
коэффициент 
0

c
деп алып, жаңа тәуелсіз айнымалылар енгіземіз 
,
1
y
x




y
x
2




(4) 
мұндағы 
2
1
,


әзерге кез-келген сандар. 
Оңай табылатын формулалардың 


























u
u
x
u
x
u
x
u




























u
u
y
u
y
u
y
u
2
1
арқасында келесі сәйкестік орын алады 










x
, 












2
1
y
Сондықтан да 
х
 
у
 

176 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



























































































u
u
u
u
u
u
y
u
x
u
x
u
x
x
u
немесе
2
2
2
2
2
2
2
2
















u
a
u
a
u
a
x
u
a
(5) 
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2



































































u
u
u
u
u
u
y
u
x
y
x
u
немесе 


2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2






















u
b
u
b
u
b
y
x
u
b
(6) 
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2






























































































u
u
u
u
u
u
y
y
u
y
u
y
y
u
немесе 
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2




















u
c
u
c
u
c
y
u
c
(7) 
(5), (6), (7) теңдіктерді қосқаннан соң, (3) теңдеуді келесі түрде жазуға болады. 




























































u
u
u
F
u
c
b
a
u
c
b
b
a
u
c
b
a
y
u
c
y
x
u
b
x
u
a
,
,
,
,
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
немесе




























u
u
u
F
u
C
u
B
u
A
,
,
,
,
2
1
2
2
2
2
(8) 
Бұнда 

















2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2








c
b
a
C
c
b
a
B
c
b
a
A
(8′) 
Енді қосымша квадраттық теңдеуді қарастырайық. 
0
2
2



a
b
c


(9) 
оның түбірлері 
c
ac
b
b
4
2
2
,
1





Дискриминаттың 
ac
b
D
4
2


мәніне қарай үш жағдай болуы мүмкін 
І жағдай
. Егер де 
0
4
2



ac
b
D
болса, онда 
2
1
,


түбірлері нақты және әртүрлі түбірлер 
болады. Бұл жағдайда (3) теңдеу 
гиперболалық 
түрге жатады. 

177 
ІІ жағдай.
Егер де 
0
4
2



ac
b
D
болса, онда 
2
1
,


түбірлері комплексті (кешендік) 
түбірлер болады. Бұл жағдайда (3) теңдеу 
эллиптикалық 
түрге жатады. 
ІІІ жағдай. 
Егер де 
0
4
2



ac
b
D
болса, онда 
2
1
,


түбірлері еселі және нақты түбірлер 
болады. Бұл жағдайда (3) теңдеу 
параболалық 
түрге жатады. 
Сонымен (1) теңдеу дискриминанттың 
ac
b
D
4
2


мәніне қарай үш түрге іріктеледі. Енді әр 
түрге мысалдар келтірейік. 
Мысал 1. 
Бірінші мына теңдеуді қарастырайық 

0
,
2

2
2
2
2







const
a
y
u
x
u
a
(10) 
Бұл жолы 
 
,
,
2
a
y
x
a

 
0
,

y
x
b
, 
 
1
,


y
x
c
 
0
1
0
2
2
2







a
a
ac
b
D
. Біздің іріктеуге байланысты (10) теңдеу (толқын теңдеуі) 
гиперболалық түрге жатады. 
Мысал 2. 
Лаплас теңдеуі 
0
2
2
2
2






y
u
x
u
(11) 
Бұл жолы 
 
,
1
,

y
x
a
 
0
,

y
x
b
, 
 
1
,

y
x
c
0
1
0
2





ac
b
D
. Біздің іріктеуге байланысты (11) теңдеу (Лаплас теңдеуі) 
эллиптикалық түрге жатады. 
Мысал 3. 
Жылуөткізгіштің теңдеуі 
const
a
y
u
a
x
u






,
2
2
(12) 
Бұл жолы 
 
,
1
,

y
x
a
 
0
,

y
x
b
, 
 
0
,

y
x
c
0
2



ac
b
D
. Біздің іріктеуге байланысты (12) теңдеу (Жылуөткізгіштік теңдеуі) 
эллиптикалық түрге жатады. 

жүктеу/скачать 8,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: