Сборник задач для учащихся 5-6 классов
жүктеу/скачать 3,64 Mb. Pdf көрінісі
|
ОЛИМПИАДА ЕСЕПТЕРІ
| Задача 9.
Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 7, 4, 5? В этой задаче из цифр 7, 4 и 5 образуются трехзначные числа, а не двузначные, как в задаче 1. Так как цифры в записи этих чисел могут повторяться, то цифру сотен, цифру десятков и цифру единиц можно выбрать тремя способами каждую. А поскольку запись трехзначного числа представляет собой упорядоченный набор из трех элементов, то согласно правилу произведения его выбор можно осуществить 27 способами, так как 3х3х3=27. Задача 10. Сколько натуральных чисел, меньших 1000, можно записать, используя цифры 7. 4 и 5? Натуральные числа, меньшие 1000, могут быть однозначными, двузначными и трехзначными. Поэтому подсчитываем, сколько чисел каждого вида можно записать, используя цифры 7, 4 и 5, а затем полученные результаты складываем. Однозначных чисел будет 3, двузначных – 9 (см. задачу 8), трехзначных – 27 (см. задачу 9) . Всего натуральных чисел, меньших 1000, будет 3+9+27=39. Получив этот результат, можно выяснить, изменится ли он, если в задаче будет оговорено, что цифры в записи числа не повторяются. С учетом этого условия однозначных чисел будет 3, двузначных -6, трехзначных – 6, а всего натуральных чисел, меньших 1000 и записанных с помощью цифр 7. 4 и 5 без их повторения, будет 3+6+6=15. Кроме того, можно узнать, сколько четных натуральных чисел, меньших 1000, можно записать используя цифры 7, 4 и 5. С помощью данных цифр можно записать такие четные числа: одно однозначное число (это 4), три двузначные (так как имеется 3 способа выбора цифры десятков и один способ выбора цифры единиц) и девять трехзначных (так как имеется 3 способа выбора цифры сотен, 3 – цифры десятков и 1 – цифры единиц). Всего четных натуральных чисел. Меньших 1000, записанных с помощью цифр 7, 4 и 5, будет 13 (1+3+9=13). Задача 11. Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и1? Запись четырехзначного числа представляет собой упорядоченный набор (кортеж) из четырех цифр. Первую цифру – цифру тысяч – можно выбрать только одним способом, так как запись числа не может начинаться с нуля. Цифрой сотен может быть либо 0, либо 1, т.е. имеется два способа выбора. Сколько же способов выбора имеется для цифры десятков и цифры единиц. Тогда согласно правилу произведения с помощью цифр 0 и 1 можно записать 8 четырехзначных чисел, так как 1 х 2 х 2 х 2=8. Можно проиллюстрировать полученный результат. Записав все эти числа, т.е. решив данную задачу методом перебора. Запишем сначала числа, в записи которых используются только цифра 1. Такое число только одно – 1111. Затем записываем все числа, в записи которых используются три единицы и один нуль: 1110, 1101, 1011. Далее записываем все числа, в записи которых используются две единицы и два нуля: 1100, 1010, 1001. И, наконец, получаем число, в записи которого одна единица и три нуля 1000. Задача 12. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использованы в записи только один раз? Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков также можно осуществить пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для записи сотен; после выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда по правилу произведения получаем, что трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 5х5х4=100 способами. Заметим, что не только задачу 4, но и первые три можно решать в начальной школе методом перебора, причем в задаче 2 можно уменьшить число возможных случаев, если добавить условие, что цифры в записи числа не повторяются. При этом умение применять правило произведения для подсчета числа всевозможных комбинаторных соединений позволяет учителю контролировать правильность решения этих задач. С помощью правила произведения легко проверяются решения комбинаторных задач, предлагаемых младшим школьникам и выполненных методом перебора. Приведем несколько примеров из статьи Р. Хазанкина «Словарь племени сю – сю», опубликованной в «Учительской газете» 21 января 1992г. жүктеу/скачать 3,64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|