Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

70
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д И ФФЕРЕНЦ И АЛ
В задачах 94G — 949 найти угловые коэффициенты касательных 
к данным линиям.
946. х = 3 cost, у =  4 sin t в точке (?>У 2j2, 2 )/"2).
947. x = t — tK, y = f i — t3 в точке (0, 0).
948. x  = t3 -j- 1, у == t“ —
|—
t —
j—
1 в точке ( 1, 1).
949. x = 2cos£, y =  sin t в точке (1, — У 3/2).
950. Для линии, заданной в параметрической форме, указать связь 
между параметром t и углом а, образованным касательной к линии 
с осыо абсцисс.
1)
X =
COS 
t 
t 
sin
t
—
-J cost, 
у
=
sin
t 
—
t 
COS 
t 
—
~
s in
t
;
2) 
x = a cos31, y = a sin31\
3) 
x = a cos t y 2 cos 21, у = a sin t У ‘2 cos zc.
951. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически урав­
нениями x=2t-\-3t~, у  — tn
- -|- 2t'-\ удовлетворяет соотношению у =
= У 8-{-2у 3 (штрихом обозначено дифференцирование по х, т. е. у ’ =  
j .
952. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически урав-
1 -f-1 
3 . 2 
,,
пениями л' = —ф— , у —  
-j- у , удовлетворяет соотношению х у л =
='+у{у=Ш-
953. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически урав­
нениями х = сЪ21, y = sh2t, удовлетворяет соотношению у\/ — # = 0
dy
У = d x )
954. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически уравнениями
1 
, 1 4 - / 1 + 1- 
t
---
In 
, ^
, у г -
V \ + t*
t 
ү і + t*'
удовлетворяет соотношению у У  1 -|-У'— У ( у  —
955. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически урав-
14- In
t
3 4 -2 In f
пениями х  — — ү ,— , у =  ——--- , удовлетворяет соотношению уу =
= 2л-УЧ-1 ( / = % )
d x ) ‘
956. Найти углы, под которыми пересекаются линии:
5 ^ ^ ф 
( 
__ at3

957. Показать, что при любом положении производящего круга 
циклоиды касательная и нормаль в соответствующе!! точке циклоиды 
проходят через его высшую и низшую точки.
958. Найти длины касательной, нормали, подкасательной и поднор­
мали к кардиоиде
х = а  (2 cost — cos21), 
y = a ( 2 sin t — sin 21)
в произвольной ее точке.
959. Найти длины касательной, нормали, подкасательной, поднормали 
к астроиде
х = a sin31, у = а  cos31
в произвольной ее точке.
960. Доказать, что касательная к окружности х- -\- у-= а? служит 
нормалью к эвольвенте окружности
х = а (cos t -j-1 sin t), y = a (sin t — t cos t).
901. 
Найти длины касательной, нормали, подкасательной и поднор­
мали эвольвенты окружности (см. уравнения последней в предыдущей 
задаче).
962. Доказать, что отрезок нормали к кривой
х =  2a sin t -[- a sin t cos’21, y =  — a cos31,
заключенный между осями координат, равен 2а.
В
задачах 
963
—
966 
составить уравнения касательной 
и 
нормали 
к данным линиям в указанных точках.
9G3. х = 2 е ‘\ 
у = е~* 
при 
^ = 0.
964. х =  sin t, 
y= :cos2t 
при t = тс/в.
965. а' = 2 In ctg£-{- 1, у == tg t —
j—
ctg t 
при t = ~j4.
nnn 
3at“ 
, 
,,
963. I) 
x = Y ^ r f 
y = T J - p  при t =  2;
{
x = t(tc o s t — 2 sin0, 
к
при t = - r ; 
y = t(t sin t -J- 2 cos t), 
4
3) 
x =  sin t, 
y = ac 
при t =  0.
967. Показать, что в двух точках кардиоиды (см. задачу 958), соот- 
ветствующпх значениям параметра г, отличающимся н а т е , касательные 
параллельны.
968. Доказать, что если ОТ и O N — перпендикуляры, опущенные 
из начала координат на касательную и нормаль к астроиде в любой ее 
точке (см. задачу 959), то
4 .ОТ*-\- 0№- = а*
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМ ЕНЕНИЯ 
71

72
ГЛ. III. ПРОИЗВОДНАЯ И Д ИФФЕРЕНЦ И АЛ
969. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат 
на касательную к линии
2х = а (3 cos t -|- cos 30, 2у  = a (3 sin t -|- sin 3/).
Показать, что 4p2 = 3/?‘2-j-4a2, где p— полярный радиус данной точки, 
а р — длина указанного перпендикуляра.
С к о р о с т ь и з м е н е н и я п о л я р н о г о р а д и у с а
970. Дана окружность р — 2rsin
радиусом и касательной и угол а между полярной осыо и касательной.
971. Доказать, что у параболы р — asec2-|- сумма углов, образован­
ных касательной с полярным радиусом и с полярной осыо, равна двум 
прямым. Использовать это свойство для построения касательной к пара­
боле.
972. Дана линия p = asin3-|- (конхоида); показать, что а = 40 (обо­
значения — те же, что в задаче 970).
973. Показать, что две параболы, р = а sec2 
и p = b cosec2 -Ц- пере­
секаются под прямым углом.
974. Найти тангенс угла между полярной осыо и касательной к линии 
p = asec2<
p в точках, в которых р = 2а.
975. Найти тангенс угла между полярной осыо и касательной в начале 
координат: 1) к линии p = sin :,
976. Показать, что две кардиоиды р = а (1 
cos ср) и р = а (1 — cos <р) 
пересекаются под прямым углом.
977. Уравнение линии в полярных координатах задано параметрически: 
р = /j (t), y = f . 2(t). Выразить тангенс угла 0 между касательной и поляр­
ным радиусом в виде функции t.
978. Линия задана уравнениями p = at'\ сp = bt~. Найти угол между 
полярным радиусом и касательной.
979. Дан эллипс Jt' = acos/, y = bs\nt. Выразить полярный радиус р 
и полярный угол ср как функции параметра t. Использовать полученную 
форму задания эллипса для вычисления угла между касательной и поляр­
ным радиусом.
П о л я р н о й п о д к а с а т е л ь н о й называется проекция отрезка 
касательной от точки касания до ее пересечения с перпендикуляром, 
восставленным к полярному радиусу в полюсе, на этот перпендикуляр. 
Аналогично определяется п о л я р н а я п о д н о р м а л ь . Учитывая это, 
решить задачи 980 — 984.
980. Вывести формулу для полярной подкасательной и полярной 
поднормали линии р = /(ср).
981. Показать, что длина полярной подкасательной гиперболической
а
спирали р = ■
постоянна.

<
5 4. ПРОИЗВОДНАЯ КАК СКОРОСТЬ ИЗМ ЕНЕНИЯ
73
982. Показать, что длина полярно!! поднормали архимедовой спи­
рали р = аср постоянна.
983. Найти длину полярной подкасательной логарифмической спи­
рали р = о9.
984. Найти длину полярной поднормали логарифмической спирали
В задачах 985 — 999 через s обозначена длина дуги соответствующей 
линии.
(1S
985.
Прямая у = ах -\- Ь\ 
=  ?
986.
Окружность х°‘ 
у- =  г2; 
= ?
987.
Эллипс —
=
1; 
>'S = ?
а- 1
l>- 
dy
988.
Парабола у- = 2рх\ ds = ?
cf s
989.
Полукубическая парабола у- =  од:3; j- =  ?
990.
Синусоида у =  sin х; ds = ?
«4—
X 
/7 с
991.
Цепная линия у = — ^—— (j;= c lix ); ^~ = ?
992.
Окружность х = г cos t, у = г sin t\ ~  = ?
// о
993.
Циклоида x = a(t — sin/1), _У =
я ( 1
— cos/); 
= ?
994.
Астроида x = acos:t 
_y = asin3 /; ds = ?
995.
Архимедова спираль Ar = ofsin/, у = at cost; d s = ?
1000. 
Лестница длиной в 10 .« одним концом прислонена к верти­
кальной стене, а другим— опирается о пол. Нижний конец отодвигается 
от стены со скоростью 2 м/мин. С какой скоростью опускается верх­
ний конец лестницы, когда основание ее отстоит от стены на б м? 
Как направлен вектор скорости?
С к о р о с т ь и з м е н е н и я д л ин ы
996. Кардиоида
997. Трактриса
998. Развертка окружности
х 
= =
a 
(c o s
t 
- }- 1 sin
t), 
)/ = t f ( s i i i f —
t 
c o s 
t)\ 
и? —
?
999. Гипербола x = a ch t, y = a sh t; ds =  ?
С к о р о с т ь дв и же н и я

74
ГЛ. ІП. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦ И АЛ
1001. Поезд и воздушный шар отправляются в один и тот же 
момент из одного пункта. Поезд движется равномерно со скоростью 
50 
км/час, шар поднимается (тоже равномерно) со скоростью 10 км/час. 
С какой скоростью они удаляются друг от друга? Как направлен век­
тор скорости?
1002. Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от источника света, 
находящегося на высоте 3 м, со скоростью 6,34 км/час. С какой ско­
ростью перемешается тень его головы?
1003. Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 км/час. 
В центре окружности находится фонарь, а по касательной к окружности 
в точке, откуда лошадь начинает бег, расположен забор. С какой 
скоростью перемещается тень лошади вдоль забора в момент, когда она 
пробежит 1/8 окружности?
1004. На рис. 26 изображен схематически кривошипный механизм 
паровой машины: А — крейцкопф, В В ' — направляющие, А Р — шатун,
В
В
Рис. 2G.
Р  — палец кривошипа, Q — маховое колесо. Маховое колесо равномерно 
вращается с угловой скоростью и>, радиус его R, длина шатуна I. 
С какой скоростью движется крейцкопф, когда маховик повернут па 
угол а?
1005. 
Разорвалось маховое колесо, делавшее 80 оборотов в минуту. 
Радиус колеса 0,9 м, центр приподнят над полом на I м.
Какой скоростью будет обладать обломок, отмеченный па рис. 27 
буквой А, при падении на землю?

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: