Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

316
ОТВЕТЫ к ГЛАВЕ II I
1025
1027
<У-у(]ЛГ— 1}
4 Т
V x  
а
 (а2 — 1) sin 
х
1026.
1028. 
х*
arcsin х
x\f \
— 
x's 
У 7 Г Г Ғ 7
[(ln x + l ) S+ 4 “]-
V(\ — a-
sin -х ) 3
1 02 9. 
апеах.
 
1030. 
(—
1)/71031. 
ап
sin | а х
4 - я
+
bn
cos 
{bx-\-n~^
 j .
1032. 
2n~l
sin 
p i x +
(n
-
1) - J j .
Ю34. ( - D n 
('[^ -2i)l
( » ^ 2 ) .
1033. 
ex
( x - f
n). 
( _
\)n a ntl\
1035.
(ax
 4* 
by
1036.
( _
1
)п-іап(п
-
1
)
1
-
(ax
n\
1038. (— 1)”
1039. (— 1 
)nn\
b)n
1037. (— 1)«-' 
1)!- .
x
ln 
a
(x-f- 1)"+1
(X — 1
) « + 1
1
_ 
(x
 — 2)n+1
1040. 
4n~1
 cos ^4л*4-« -,yj.
(X-- l)«+l J
*
d°-y
1054.
d-x
dx
3
dy- ~
/ 
tfy 
\ 3
\ rf* /
1056.
1059.
1061.
1063.
1069.
1072.
b1
a - y
(3 — s) 
els
1057.
3 
r*x
1058.
2 (Зз^ 4 - 8 ^ 4-5)
ys
2a3x v
(2 - s)3
3’
[1 — cos (x - f з»)]3 '
d-y
d-x
dx~
dy* 
( dy y
V
dx j
2 a
1070. -
9
bst* ’ 
1
( f — a x f
*
1C62.
1064. - L
e2
y [ ( x -  l)s 4~ (.V — D-1 
х3 0 ’ - I)3
1 0 6 5 .------
P%
V (y-
4- 
p
s)a
3 
b
 cos 
t
a
sin 
:,t ‘ 
cos
21
— 4 sin
21
1071.
a
 (1 — cos®)2'
1074. 
1) 
4t-\
 
2)
1075.
9a2 cos7
1
sin;: 
t 
2 +
t~
a3 sin
11
*
; 2) 0, так как х4~.У = 0.
1080. 16 
м/сек"-.
1 — 
t~
 * 
* a (cos 
t
 — / sin 
tyA
*
1081. 
v = 2t
 — 4, a = 2. 
1082. — irs/18 
см/сек-.
 
1084. —0,0015 л /т с * .
1085. — 1/8 
м/сек2.
 
1088. 1) (х 2 — 379) s in x — 40 x co sx ;
tl
2) ex
 2
СҺ
sin 
[x
 + * - | ) I 
3) a«x3 sin 
(ax+ n -~j
-{-
4- 
3nan~lxx
sin jjxx 4 - 
(n
 — 1) ~~ j 4 - За (« — 1) 
an~sx
 sin pzx 4 - 
(n
— 2) 
j 4*
4 a 
— ІДЛ — 
2) a'1
4 sin |^ад 4- (« — 3,1 ~ J.

ОТВЕТЫ К ГЛ АВЕ IV
317
1093. 
y ,sm
(0) = 0; У 2'г+11 (0) = [1 . 3 - 5 . . . ( 2 л - I)]3.
1095. у - ’" -1' (0) = 0; / “«' (0) = 2 [2 . 4 . 6 . . . (2л - 2)]2.
1 0 S 6 .------ 1097. 
т (т -
1) 
( т
- 2) л'" ’ 
dx*.
9
х у х
1098. 
‘1 (лг 
1) 
(5а
2
— 2л' — 1) 
dx*.
 
1099. 4~А'Й 
• 
2 In 4 
• 
(2х- In 4 — 
I
) 
dx*
. 
„ 
ab (fls 
— b'-) 
sin 
2x dx*
 
ltn i 
4 In л* — 4 — In3 
x ,
..
1 I III/. --
»
---- ;--- ;—ГП—:—
г
,— ГТГ . 
1IU1. 
-------............... ..... — 
d X ~ .
(a- 
COS- 
X  -I- 
b- 
sill'- 
л ) “ * 
л-2
 
у
x _
4^3
З
й
sec2®
4 
V
 lg
1102. - 4 sin 2л- 
dx*.
 
1103. ± - д 
(1 5 tg- 

.
2
»<*• о
d'>' =
~ ғ г т
r 'x — 
is ?-
Зл
'4
у
"
2) 
d-y
= — 4 see
3
‘I t d t
3.
11 GO. I) 
d -
V» = cos 
z d- z —
sin 
z dz
~;
2
) 
d-y
=
a x
cos (
ux )
In 
a d-x — a x
In
2
a
(
a x
sin 
a x
— cos 
ox ) d x “\
3
) 
d-y
=
a '"
ln 
a
[cos 
a 1* (tit
-j- 9tf lu a) — 
a tJ
sin 
a ,J
9
1*
In «] 
dt-.
К г л а в е IV
1110. 
1) 
Точка максимума; 
2) 
убывает; 3) возрастает; 4) точка минимума; 
Г>) точка максимума; б) точка минимума; 7) точка минимума; 
8
) точка макси­
мума; 9) точка минимума.
1112. В точке л
'1
= 0 возрастает, 
в 
точке 
х 2 =
1 
у б ы в а е т , в 
точке a s = —
z/2
возрастает 
и в 
точке 
а 4 
=
2 у б ы в а е т .
1113.
Убывает в точке л', = 1/2, возрастает в точках х 2 = 2 и 
х3 — с; 
х 4 =
1
— точка минимума.
1114. Возрастает в точке 
х х
= 1, убывает в точке av = — 1; лга = 0 — точка 
минимума.
1115. Убывает в точке 
а
, =
1/2, 
возрастает в точке х £ = — 
1/2; 
л'а 
= 0 — 
точка максимума.
1125. Три корпя, принадлежащих соответственно интервалам 
(1, 2), (2, 
3) 
и (3, -
1
).
1127. sin За* — sin За! = 3 (х
2
— a,) cos 35, где 
x t
< £ < Аг.
1128. 
и
(1
— In 
а ) — b 
(1
— In 
b)
=
(b — a )
In S, где 
а
<
5
<
Ь.
к
1129. arcsin 12 (.v
0
+ Да)] — arcsin 2а
0
= ■
■
■
■
---!_==-, где л, 
. v.
1 1
1135. При 
а
—0 $ стремится к нулю, принимая 
не все промежуточные
значения, но лишь такую их последовательность, при которой cos 
стремится
к нулю.
1136.0,833. 1137.0,57. 1138.1,0414. 1139.0,1990. 1140. 0,8-149. 1141.1,7853.
1149*. Требуемое неравенство вытекает из возрастания функции 
у
= — Ь._—
в интервале ^0, 
^
j .
1150. (—
со, 
— 1) 
возрастает, (— 
1, 
3) убывает, (3, 
оо) 
возрастает.
1151.
(— со, —
1) 
убывает, 
(—
1, 0) 
возрастает, 
(0, 1) 
убывает, 
(1, 
оо) 
воз­
растает.
1152. 
(— со, 
— 
1/2; возрастает, 
(— 
1/2, 11/18) убывает, (11/18, 
со)
возрасіаег.