Сызықты емес жүйелерінің түсінігі
Фазалық кеңестік түсінігі мен анықтамалары
жүктеу/скачать 1,71 Mb.
|
ТНСАР лекц каз
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.4 Cызықты жүйелердiң фазалық портреттерiнiң ерекше нүктелерi
| 2.1 Фазалық кеңестік түсінігі мен анықтамалары
Әрбір қозғалыс өзінің ауыспалыларымен сипатталады және уақытқа тәуелді. Әрбір уақыт сәттеріне нақты элементтің не жүйенің өзінің орналасу орны яғни координаттары тән. Қарапайым қозғалысты қарастырайық, екі координаттан сипатталатын - Х және Ү. Қозғалыс екі ауыспалымен сипатталғанда сызықтық емес дифференциал теңдеу мына түрде болады (2.1) немесе (2.2) Бұл қозғалысты Х,Ү координаталар жүйесінде салу қолайлы. Онда Х-Ү осьтарын фазалық координаталар деп атайды. Қозғалу уақыты бұл графикте жанама түрде салынады сурет 2.1. уақыт мезетіне координата мәндері сәйкес келеді, Х-Ү осьтерінде салынған нүктелер. t-уақыты өзгерген сайын, нүкте фазалық кеңестікте қозғалады. Фазалық кеңістікте қозғалған нүкте, фазалық траекторияны сипаттайды, және бейнелеуші нүкте деп аталады. Қозғалыс көп ауыспалылармен сипатталса ,сызықтық емес дифференциалды функциялар түрінде көрсетіледі (2.3) мұндағы -жүйе координаталары; берілетін ықпал ұйытқу ықпалы Сыртқы ашынулар болмаған кезде дифференциалдық теңдеулер тұрақты параметрларымен мына түрде жазылады (2.4) немесе векторлық түрде Сурет 2.1 - Фазалық траектория Мұндай сызықтық емес жүйені зерттеу үшін фазалық кеңістік әдісі қолданылады Сурет 2.1 Фазалық кеңістік 2.4 Cызықты жүйелердiң фазалық портреттерiнiң ерекше нүктелерi Мұндай нүктелер фазалық траекториялардың барлық қисықтарына тән. Зерттеулер үшiн ерекше нүктелер және сызықты емес жүйелердiң ерекше сызықтары сонымен бiрге керек нүкте және сызықты жүйелердiң сызығын қарап шығу қажет. (2.6) немесе векторлық - матрицалық түрде Мұндағы - матрицаның коэффициенттері Х-айнымалы матрицаның бағанасы, Шарт бойынша А - азғындалмаған матрица, яғни .(2.6) - дан фазалық траекторияның дифференциалдық теңдеуі құрылады,ол келесі түрде (2.7) Ерекше нүкте Х=0, У=0 координатадағы тепе-теңдік күйдегі жалғыз нүкте болып табылады.Х=У1, У=У2 деп белгілейміз (2.6), операторлық түрге ауысқанда келесі түрде болады (2.8) Дифференциалды теңдеудiң интегралдаудың нәтижесі , (2.9) Мұндағы С1,С2-тұрақты коэффициенттер немесе тұрақты интегралдаулар, Р1, Р2 - мiнездемелiк теңдеудiң түбiрлерiнiң мәндерi. Дифференциалды теңдеулермен сипатталатын фазалық траекториялар У1,У2-шартты координаталар жүйесінде қарастырылады.құру үшін р1, р2 фазалық траектория түбірлерінің әр түрлі мәніндегі ерекше нүктелерді табу керек.Бұл ауыспалы процесстің сипатын анықтауға мүмкіндік береді.Фазалық траекторияны түрлендіру арқылы берілген координата жүйесіне ауысады-Х,У.Фазалық треакторияның қисығы мінездемелік теңдеудің түбірлерінің мәніне тәуелді.Түбірдің әр түрлі мәніндегі фазалық траекторияны қарастырайық. 1.Нақты түбірлер - р1,р2, шарт бойынша ‚|p2|>|p1| (2.9) формуладағы t-алып тастап фазалық траекторияның теңдеудің шешімін (2.10) түрде аламыз У1-У2 координата жүйесінде аламыз. (2.10) а) Егер р1,р2 – мәндері бірдей болса, онда р2/р1>1 бірден үлкен,фазалық траекторияны 2,8 суреттегі парабола түрінде көруге болады. 2.8-Сурет.Сызықты жүйенің фазалық портретінің ерекше нүктелері а) орнықты түйін, б) орнықсыз түйін Нақты түбірлер оң немесе теріс болуына байланысты ауыспалы процесстер сөнетін немесе сәйкес келмейтіндер болып бөлінеді.2.8 –суретте сөнетін және сәйкес келмейтін процесстер көрсетілген.2.8 а)-суреттегі нөл нүктесі «орнықты түйін», б) суретте « орнықсыз түйін» көрсетілген. б) Егер р1,р2-мәндері әр түрлі болса, онда р2/р1<1, минус бірден кіші және фазалық траектория У1,У2- координата жүйесінде болады,2.9 суретте көрсетілген гипербола түрінде.Бұл жағдайда ерекше нүктелер – «0», седло сияқты нүкте деп аталады.Седло сияқты нүкте әрқашан тұрақсыз. Енді сызықты жүйенің фазалық портреттерін Х-У жазықтықтарында қарастырамыз.У1,У2- шартты жүйеде координаталар өздері фазалық траектория болады және түрлендіру кезінде де түзу фазалы траектория болып қалады.Х-У жазықтығында олар у=к*х түрінде болады.Осы теңдеуді (2.7) фазалық траектория теңдеуіне қойсақ (2.11) аламыз,оны түрлендіру арқылы (2.12) теңдеуді аламыз. (2.11) (2.12) 2.9-сурет-Седло түріндегі ерекше нүкте (2.12) қарастырсақ қатысты-к, (2.13) өрнекті аламыз,содан к1,к2 аламыз. 2.10- сурет.Түйіннің ерекше нүктелері үшін фазалық траектория. а)орнықты түйін, б)орнықсыз түйін (2.13) Осы берілген Х-У координаталар жүйесіндегі екі түзу фазалық траектория .Өз кезегінде ,мұндағы -көлбеу бұрышы. Қалған тракеториялар қисық сызықты,олар 2.11 суретте көрсетілген.Ауыспалы процесс фаза траекторияларының қайсысы арқылы өтетіні координатаның бастапқы нүкте М0(t0) Х(t0);У(t0) координаталары бойынша.Седло нүктесі үшін фазалық траектория берілген Х-У жүйесінде 2.11 – суретте көрсетілген. Фаза траекториясының картинасын анықтау үшін изоклин әдісі қолданылады. 2. Мінездемелік теңдеудің нақты түбірлері тең-р1=р2. Түбірлер теріс болған жағдайда р1,2<0, ерекше нүкте азғындалған орнықты түйін болады. Егер түбірлер оң болса р1,2>0, онда ерекше нүкте азғындалған орнықсыз түйін болады.Фазалық траектория шартты осьте У1-У2, 2.12 суретте көрсетілген. 3.Мінездемелік теңдеудің комплексті түбірлері-р1,р2. ауыспалы тербелмелі процесске сәйкес келеді. Комплексті түбірлерді (2.9) теңдеуге қойсақ келесі түрде болады. (2.14) 2.11- сурет.Седло ерекше нүктенің фазалық траекториясы. (2.14) теңдеуді шешу үшін комплексті түрдегі , жаңа айнымалылар енгізіледі. сурет2.12 - Азғындалған түіндер а) азғындалған орнықты түйіндер б) азғындалған орнықсыз түйіндер (2.15) (2.15) өрнегінің нақты бөлігін түрлендіру арқылы Z1-Z2 берілген шартты координатада фазалық траекторияны құру үшін қажетті өрнекті аламыз. (2.16) болғанда «тұрақты фокус» түріндегі ерекше нүкте, ал болғанда-«тұрақсыз фокус» түріндегі ерекше нүкте болады.Мұндай типтегі фазалық траекторияларды логарифмдік спираль деп атайды, логарифмдік тарқайтын және логарифмдік тарқамайтын спираль болып бөлінеді .2.13 суретте. Комплексті түбірдің жеке жағдайы: Z1-Z2 шартты жүйеде фазалық траекториялар орталық түріндегі ерекше нүкте береді.2.14 суретте. 2.13-сурет.Логарифмдік спираль. а) тұрақты фокус нүктесі б) тұрақсыз фокус нүктесі Сурет 2.14 - Орталық түріндегі фазалық траектория жүктеу/скачать 1,71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|