Теорема 4 (функция графигінің дөңес (ойыс) болуының жеткілікті шарты)

Иілу нүктесінен өткен кезде функцияның екінші ретті туындысы өзінің таңбасын өзгертеті болғандықтан иілі нүктесінде екінші ретті туынды иә нольге тең болады, иә иілу нүктесінде функцияның екінші ретті туындысы болмайды.

Егер у=f(x) функциясының графигінің М нүктесі шексіздікке ұмтылғанда бір L түзуінен ара қашықтығы нольге ұмтылса, онда L түзуін у=f(x) функциясының асимптотасы деп атайды. Бұл анықтамадан тек қана графигінің шексіздіке кетіп жатқан тармағы бар функциялардың ғана асимптотасы бар екендігін көреміз.

Егер

шартын қанағаттандыратын х=x_i (i=1,…,n) нүктелер бар болса, онда х=x_i түзулері у=f(х) функциясының графигінің вертикаль асимптоталары деп аталынады. Вертикаль асимптоталары функция мәні шексіздікке ұмтылатын үзіліс нүктелері болады.

шектері бар болса, онда у=kх+b түзуі у=f(х) функциясының графигінің көлбеу асимптотасы деп аталынады (k=0 болғанда көлбеу асимптота горизонталь түзу болады).

Функцияны толық зерттеп оның графигін салуды төмендегі схемамен жасаған дұрыс болады.

1. функцияның анықталу обылысын табу керек;

2. функцияның үзіліс нүктелерін табу керек, сонымен қатар функция графигінің координаталар осімен қиылысу нүктесін, егер бар болса вертикаль асимптоталарын табу керек;

3. функция тақ, жұп функция бола ма, соны анықтау керек, егер периодты функция болатын болса периодын табу керек;

4. функцияны монтондыққа және экстремумге зерттеу керек;

5. функция графигінің дөңестік пен ойыстық аралықтарын, иілу нүктесін табу керек;

6. функция графигінің асимптоталары бар болса оларды табу керек;

7. функцияның кей нүктелеріндегі мәндерін есептеп табу керек (функция графигінің дәлдігін күшейте түсу үшін неғұрлым көбірек міндерді есептеген дұрыс болады);

8. функция графигін салу керек.