«Стереометриядағы жаңа оқыту технологиялары»
Дәріс №7 Жазықтықта кеңістіктік фигураларды салу, Польке –Шварц теоремасы Дәріс №8
жүктеу/скачать 1,71 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЖӘНЕ МЕТРИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР
- Позициялық есептер
- Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары
- Түзу сызықтардың өзара орналасулары
- Метрикалық есептер
- Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы
- Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы
Дәріс №7 Жазықтықта кеңістіктік фигураларды салу, Польке –Шварц теоремасы Дәріс №8 Кеңістіктегі нүктелердің негізгі геометриялық орындары Дәріс №9 Метрикалық есептер. Проекциялық сызбаларда метрикалық есептерді шешу. ПОЗИЦИЯЛЫҚ ЖӘНЕ МЕТРИКАЛЫҚ ЕСЕПТЕР Позициялық (тұрғылықты) жəне метрикалық (өлшем) есептер жалпы сызба геометрияның негізгі есептері болып табылады. Позициялық (тұрғылықты) есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара орналасуын анықтайтын есептер. Позициялық есептерге: нүкте мен түзудің, түзу мен түзудің, нүкте мен жазықтықтың, түзу мен жазықтықтың, жазықтық пен жазықтықтықтың, жазықтық пен беттің, екі беттің өзара орналасу есептері жатады. Метрикалық (өлшем) есептер дегеніміз - геометриялық фигуралардың сызбалары арқылы олардың кеңістіктегі өзара қашықтықтарын, олардың арасындағы бұрышын жəне олардың ауданын, нақты шамасын т.с.с. жағдайын анықтайтын есептер.
Күрделі емес позициялық есептерді шешуде көбінесе жалпы əдістер пайдаланылады. Бұл параграфта кеңістіктегі нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасуы, кеңістіктегі түзу сызықтардың өзара орналасуы, кеңістіктегі екі жазықтықтың өзара орналасуы жəне кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасулары сияқты позициялық есептерді қарастырамыз. Нүкте мен түзу сызықтың өзара орналасулары Кеңістікте нүкте мен түзу сызық əртүрлі жағдайда кездесуі мүмкін. Кеңістікте нүкте түзу сызық бойында немесе түзу сызықтан тыс орналасуы мүмкін. Осы тақырыпқа мысал ретінде суреттегі нүктелер мен түзудің өзара орналасуларын қарастырайық. 1-ші суреттегі С5 нүктесі – А5 В2 түзу сызығынан тыс жатқан нүкте. Ал, D3 нүктесі – А5 В2 түзу сызығының бойында жатқан нүкте, өйткені бұл нүкте түзу сызықтың ен аралыққа бөлгендегі үшінші бөлігіне тең. 
Үшінші Е7 нүктесін алсақ, бұл нүкте проекциясы түзу сызық бойында жатқанымен,түзу сызықтан тыс орналасқан, түзу бойында жатпайтын нүкте. Себебі, Е7 нүктесі түзу сызық бойында жатпайды, 4-енаралық үстінде орналасқанымен, бұл нүктенің сандық белгісі 7-ге тең. Түзу сызықтардың өзара орналасулары Түзу сызықтар кеңістікте өзара орналасуларына байланысты: параллель, қиылысқан, айқасқан жəне перпендикуляр (тікше) болып келеді. Егер кеңістіктегі екі түзу сызықтың көл денең П0 проекция жазықтығындағы кескіндерінің кескін табандары өзара параллель, ен аралықтары тең жəне сандық белгілері бір бағытта өсетін болса, онда мұндай түзу сызықтарды өзара парал лель түзулер дейді. Мысал ретінде 2-ші cуретте орналасқан А5 В2 жəне С5 D8 түзу сызық тарын қарастырайық. Көлденең П0 жазықтығында кескінделген А5 В2 түзуіне С5 D8 түзу сызығы параллель орналасқан, өйткені екі түзу сызықтың кескіндері өзара параллель, ен аралықтары тең жəне өсу бағыттары сəйкес келген түзулер.  
Егер екі түзудің кескін табандары бір нүктеде қиылысса жəне осы нүктедегі сандық белгілері бірдей болса, ондай түзулер өзара қиылысқан түзулер деп аталады (3-ші сурет). Мысал қарастырайық. Көлденең П0 жазықтығында өзара қиылысқан А9 В4 түзу сызығы мен С5 D8 түзу сызығының кескіні берілген жəне екі түзу К6 нүктесінде қиылысады. Берілген екі түзу сызықты ен аралықтарға бөлеміз. Бөлінген ен аралықтар алтыншы санында қиылысып жатыр. Демек, бұл екі түзу сызық - өзара қиылысып жатқан түзу сызықтар. Егер кеңістіктегі екі түзу кескін табандары қиылысқан болса, бірақ ортақ қиылысу нүктесі болмаса жəне түзулердің ен аралықтары əртүрлі болса, онда мұндай түзулер өзара айқас түзулер деп аталады. Мысал ретінде 4-cуретте орналасқан түзу сызықтарды қарастырайық. Көлденең П0 жазықтығында кескінделген өзара қиылысып жатқан А7 В2 түзуі мен С5 D8 түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысып жатқан түзулердің ортақ нүктесі жоқ. Түзулердің ен аралықтары өзара тең емес, яғни бұл түзулер айқасып жатыр. 
Өзара айқас түзулердің кейде кеңістіктегі кескін табандары өзара параллель болып та келеді, бірақ өсу бағыттары қарама-қайшы болады. 
Өзара айқасып жатқан түзулерге тағы бір мысал ретінде 5-cуретті қарастырайық. П0 жазықтығында кескінделген А9 В5 түзуі мен С5 D8 түзу сызықтары берілген. Бұл қиылысып жатқан түзулердің ортақ нүктесі жоқ. Түзулердің ен аралықтары өзара тең емес, яғни бұл түзулер айқасып жатыр. 
Егер кеңістіктегі орналасқан түзу сызықтардың кескін табандары қиылысқан, бірақ түзу сызықтың біреуінің кесінді табаны горизонталь (деңгейлік) түзу болса, ал екінші түзу сызық осы түзу сызыққа (кескін табаны) перпендикуляр орналасса, онда мұндай түзулер өзара перпендикуляр түзулер деп аталады (6-сурет). Өзара перпендикуляр түзулерге мысал ретінде 6-cуретті қарастырайық. 6-cуретте көлденең П0 жазықтығына параллель орналасқан А5 В5 түзуі берілген. Осы түзу сызықтың бойында жатқан С5 нүктесін белгілеп алып, С5 нүктесі арқылы перпендикуляр С5 D8 түзу сызығын жүргізсек, онда бұл түзулер өзара перпендикуляр түзулер болады. Метрикалық есептер Сандық белгісі бар проекциялар горизонталь П0 жазықтығында орындалса да, сызбада тікбұрышты (ортогональ) проекциялар қағидаларымен құрылатын болғандықтан, тікбұрышты проекцияларда қолданылатын əдістердің көбін сандық белгісі бар проекцияларда да пайдалануға болатынын айта кету керек. Сондықтан метрикалық (өлшем) есептерді шешуде жалпы əдістерді пайдаланамыз. Түзу сызықтың нақты шамасы мен жазықтыққа жасайтын бұрышы Егер түзу сызық кеңістікте жалпы жағ дайда орналасқан болса, онда оның көлденең П0 жазық тығындағы проекциясы бұрмаланып, түзу сызық ұзын немесе қысқа болып кескінделеді. 
Сандық белгісі бар проекцияларда жалпы жағдайда берілген түзу сызықтың нақты шама сын (ұзындығын) табу үшін, берілген А4 В6 түзуінің А4 жəне В6 нүктелерінен түзуге перпендикуляр сызық жүргіземіз. Осы сызық бойына сан өлшемдерін өлшеп саламыз. Егер табылған А жəне В нүктелерін өзара қоссақ, онда жүргізілген түзу сызық ұзындығы түзудің нақты шамасы болады (7-сурет). Енді түзудің жазықтыққа жасайтын бұры шын анықтау үшін, А нүктесінен А4 В6 түзуінің сандық белгісі бар проекциясына параллель түзу жүргіземіз. Осы түзу мен түзудің нақты шамасының арасындағы бұрышы А4 В6 түзу сызығы мен көлденең П0 жазықтықтың арасындағы бұрышы болып табылады.
Жоғарыда айтып кеткендей, метрикалық есептер деп гео метриялық фигуралардың сыз бал ары арқылы олар дың кеңіс тік тегі өзара қашық тықтарын аны қтайтын есептерді айтады. Нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға мы сал ретінде 8-суретті қарастырайық. Суретте кеңістікте орналасқан S2 нүктесі мен көлбеулік масштабы ар қылы Р жазықтығы берілген. Жазықтыққа S2 нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл түзу сызықтың ен аралығын анықтау үшін, тікбұрышты үшбұрыш əдісін пай даланамыз. Сызық бойына жазықтықтың ен аралығын l ж өлшеп, О нүктесін анықтаймыз. Осы сызыққа перпендикуляр масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп салып, L нүктесін табамыз. Табылған көлбеу сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл қызыл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. М жəне О нүктелерінің арақашықтық перпендикуляр түзу сызығының ен аралығы l т болады. Осы табылған ен аралықты S2 нүктесінен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығына жүргізілген параллель түзу сызық бойына өлшеп саламыз. 
Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызығын анықтау керек. Ол үшін түзу арқылы проекцияланушы Q жазықтығын жүргіземіз. Осы Q жазықтығы мен көлбеулік масштабы арқылы берілген Р жазықтығының қиылысу сызығын анық- таймыз. Осы қиылысу үшін, екі жазықтықтың аттас горизонтальдарын өзара қосамыз. Барлық өзара қосқан аттас горизонтальдар тек қана бір түзуде қиылысады. Біздің мысалымызда жазықтықтың 5-горизонталі мен түзу сызықтың 5-горизонталі жəне 6 мен 6-горизонтальдарын өзара қосқанда бұл сызықтар N нүктесінде қиылысады. Осы нүкте арқылы горизонталь сызыққа параллель түзу жүргіземіз. Бұл түзу сызық екі жазықтықтың қиылысу сызығы болатынын жоғарыда айтқанбыз. Табылған қиылысу сызығы перпендикуляр түзуді 5.5 бөлігінде қиып өтеді. Қиылысу нүктесін К əрпімен белгілейміз. Табылған К5.5 нүктесімен S2 нүктесінен Р жазықтығына дейінгі арақашықтық кеңістіктегі нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы болып табылады. Нүкте мен жазықтықтың ара қашықтығын анықтауға екінші мысал қарастырайық (9-сурет). Суретте кеңістікте орналасқан S12 нүктесі мен үшбұрыш арқылы Р жазықтығы берілген. Есепті шешу үшін, алдымен жазықтыққа S12 нүктесі арқылы перпендикуляр түзу сызық жүргіземіз. Бұл перпендикуляр сызық жазықтықтың горизонталь сызығына перпендикуляр болып түсуі шарт. Тікбұрышты үшбұрыш əдісін пайдаланып, түзу сызықтың ен аралығын анықтаймыз. Ол үшін бір сызық бойына жазықтықтың ен аралығын – l ж өлшеп салып, О нүктесін табамыз. Осы нүктеден масштаб сызғышынан бір бірлікті өлшеп алып, L нүктесін саламыз. Сызыққа (жасыл сызық) перпендикуляр (қызыл) сызық жүргіземіз. Бұл сызық бастапқы жүргізілген сызықты М нүктесінде қиып өтеді. Табылған М мен О нүктелерінің арақашықтығы перпендикуляр түзу сызықтың ен аралығы l т болады. Табылған ен аралықты S12 нүктесінен жүргізілген сызық бойына өлшеп саламыз. 
Енді осы түзу сызықтың жазықтықпен қиылысу сызығын анықтау керек. Егер жазықтық пен түзу сызықтың аттас горизонтальдарын өзара қоссақ, онда өзара аттас горизонтальдар тек қана бір нүктеде қиылысады. Біздің мысалымызда бұл сызықтар К3.3 нүктесінде қиылысады. Табылған К3.3 нүктесі кеңістікте орналасқан S12 нүктесі мен үшбұрыш арқылы берілген Р жазықтығының арақашықтығы болып табылады. Метрикалық есептердің бірнеше түрлерінің жалпы əдіспен шешу жолдарын көрсеттік. Қалған есептердің шешу жолдарын келесі тарауда көрсетеміз.
1. Позициялық есептер дегеніміз не? 2. Түзу сызықтар өзара қалай орналасады? 3. Жазықтықтар өзара қалай орналасады? 4. Жазықтық пен түзу сызық өзара қалай орналасады? 5. Метрикалық есептер дегеніміз не? 6. Түзу сызықтың нақты шамасын қалай анықтайды? 7. Жазықтық пен нүктенің арақашықтығын қалай анықтайды? Жаттығу есептері 1. Жалпы жағдайда орналасқан А(10;20;20); В(25;15;30) төбелерінен тұратын түзу сызық пен С(15;10;20) нүктесінің өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 2. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30) жəне С(10;20;25); D(25;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтардың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 3. Кеңістікте орналасқан өзара параллель түзу сызықтарды салып көрсетіңіз. 4. Кеңістікте орналасқан өзара перпендикуляр түзу сызықтарды салып көрсетіңіз. 5. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі АВС жəне DEF жазықтықтарының өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 6. Жалпы жағдайда орналасқан кеңістіктегі А(20;20;20); В(25;15;30); С(10;20;25) төбелерінен тұратын жазықтық пен Е(10;20;25); D(5;25;10) төбелерінен тұратын түзу сызықтың өзара орналасуларын салып көрсетіңіз. 7. Кеңістікте орналасқан А(20;20;20); В(25;15;30); С(10;20;25) жазықтығының бойында жатқан D нүктесінен перпендикуляр түзу сызығын салып көрсетіңіз. 8. Кеңістікте орналасқан А(10;20;10); В(15;15;30); С(20;10;25) жазықтығы Е(10;20;25); D(5;25;10) түзу сызықтың қиылысу сызығын салып көрсетіңіз. жүктеу/скачать 1,71 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|