Тақырып 3: Бернуллидің қарапайым схемасы. Муавр- лапластың локальдық және интегралдық теоремалары. Пуассонның шектік теоремасы
Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы
жүктеу/скачать 329,64 Kb.
|
Тақырып 3 Сөз
- Бұл бет үшін навигация:
- Пуассон теоремасы
| Муавр-Лапластың интегралдық теоремасы
Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол болса, онда сынау саны жағдайда оқиғаның орындалу санының және аралығында болу ықтималдығын мына формуламен есептейміз: , мұнда функцияның айнымалылары , ал тең. Ал, Лаплас функциясы деп аталады. Лаплас функциясының мәндерін 2-қосымша арқылы анықтаймыз. Лаплас функциясының мынадай қасиеттері бар. 1. функциясы тақ функция, яғни . 2. функциясы монотонды өспелі, яғни болса, онда болады. 3. х шектеусіз өскенде функциясы 0,5-ке ұмтылады, яғни болады. Сондықтан . 4. қисығы координаталар бас нүктесіне қатысты симметриялы. Мұның екі горизонтал асимптотасы бар, өйткені ; . Ал болғанда . 5. функциясының мәні х-тің аз мәнінде де 0,5-ке жуық, сондықтан мәндерінде есептеудің қажеті жоқ. Мындай мысал қарастырамыз. Сақтандыру компаниясы 40000 келісім шартқа қол қойды. Әр келісім шарт бойынша бір жылдың ішінде сақтандыру шығыны 2% құрайды. Жыл бойы сақтандыру шығыны саны 870 тен аспау ықтималдығы қандай? Шешуі: Есептің шарты бойынша сынаулар саны n=4000, ал ықтималдық p=0,02. Кері ықтималдылық q=0.98-ге тең. Сақтандыру шығыны саны 870 тен аспау ықтималдығын есептеу үшін Муавр-Лапластың интегралдық формуласын пайдаланамыз. Формула бойынша np=800- тең, ал . Лаплас функциясының аргументтерінің мәндерін есептейміз ол және тең. Нәтижесінде орнына қоямыз Ф(2,5)–Ф(-28,57), онан кейін Лаплас функциясының тақтық қасиетін пайдаланымыз да Лаплас функциясының кестесі бойынша функцияның мәндерін есептеп Жыл бойы сақтандыру шығыны саны 870 тен аспау ықтималдығын табамыз, ол 0,9938 ге тең болып шығады. Пуассон теоремасы: n шексіз өскенде np көбейтіндісі тұрақты болып қала береді деп ұйғарайық және λ=np деп белгілейік. Онда кез келген белгіленген m және тұрақты λ үшін . n өте үлкен шама, ал p өте аз шама (әдетте р<0,1; ) болғанда Бернулли формуласының орнына Пуассон формуласы қолданылады: , мұнда λ=np. Мысалы. Қандай да бір заттың жарамсыз болу пайыздық көрсеткіші белгілі 0,5% тең болсын. 1000 зат тексерілді. Тексерілген заттардың ішінде дәл 3 жарамсыз зат болу ықималдығы қандай? жүктеу/скачать 329,64 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|