Ответ: .
Задача 10. Решите систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами X = MX, где , x,y,z – функции от t. M – матрица коэффициентов при начальных условиях .
.
Запишем систему по исходным данным:
. Ищем решение в виде . Тогда . Подставляя это в систему, получим систему алгебраических уравнений, которая определяет неизвестные коэффициенты : . Приравнивая определитель системы к нулю, получим характеристическое уравнение исходной системы: . Раскроем определитель: . Или . Следовательно, . При получим систему: . Отбросим третье уравнение, как линейно зависимое. Получим или . Положим . Тогда и . Получили первое частное решение: . При получим систему: . Отбросим первое уравнение, как линейно зависимое. Получим . Решая систему, получим: , . Получили второе частное решение: .
При получим систему: . Отбросим второе уравнение, как линейно зависимое. Получим . Положим . Тогда . Получили третье частное решение: . Общее решение записывается как линейная комбинация частных решений: .
Найдём произвольные постоянные, пользуясь начальными условиями. При t=0 получим систему: . Вычтем из третьегоуравнения второе. Получим: . Следовательно, . Таким образом, частное решение системы следующее: .
Ответ: .
Достарыңызбен бөлісу: |
