Топ: дпмно-15с математика негіздері пәнінен тапсырмалар жауаптары
жүктеу/скачать 0,87 Mb.
|
математика негіздері Назырхан Айнур
| 7, 8 сұрақтар:
Қысқартылмайтын бөлшегі түрінде өрнектелетін а санын ондық бөлшекке айналдыру үшін натурал p санын натурал q санына бөлу керек. Бөлу кезінде пайда болатын қалдықтар q-ден кем, яғни 0, 1, 2, 3,..., q – 1 түріндегі сандар болатыны белгілі. Егер бөлу процесінің бір қадамында қалдық 0-ге тең болса, онда бөлу аяқталады да а ꞊ санының ондық бөлшек түрінде жазылуы ондық таңбалардың шектеулі тізбегімен, яғни шектеулі ондық бөлшекпен өрнектеледі. Егер бөлудің әрбір қадамында пайда болатын қалдықтар 0-ден өзгеше сан болса, онда бөлу ешқашан аяқталмайды, шексіз жалғаса береді. Шынында да әртүрлі қалдықтар саны шектеулі болатындықтан, белгілі бір қадамнан бастап қандай да бір қалдық қайталана беруі мүмкін. Осылайша қайталанатын цифрлар период құрайды. Бұл жағдайда p-ны q-ға бөлу процесі шексіз болады және а ꞊ санының ондық жазылуы таңбалардың шексіз тізбегімен, яғни шексіз ондық бөлшекпен өрнектеледі. Сонымен бірге, осының нәтижесінде шығатын ондық бөлшек периодты болады және нәтижесінде қандай да бір орыннан кейін белгілі бір цифрлар тобы шексіз қайталанып отырады. Мұндай бөлшектерде қайталанатын цифрлар тобын жақшаға алып жазады, ал қайталанатын сандар тобын бөлшектің периоды деп атайды. Мысалы: ꞊ 0,1(45); ꞊ 0,(27); ꞊0,(3) Периоды бірден үтірден кейін басталатын бөлшектерді таза периодты бөлшектер деп, ал үтір мен период арасында ондық таңбалары болатын бөлшектерді аралас периодты бөлшектер деп атайды. Егер қысқартылмайтын бөлшектің бөлімінің жай көбейткіштерге жіктелуіне 2 мен 5 цифрлары енбесе, онда бұл бөлшекті ондық бөлшекке айналдырғанда таза периодты бөлшектер, ал бөлімінің жіктелуіне 2 мен 5 цифрлары енетін болса, онда аралас периодты бөлшек шығады. Жалпы алғанда, егер бөлшегі қысқартылмайтын бөлшек болса және оның бөлімінің жіктелуінде 2 мен 5-тен өзгеше жай көбейткіштер болса, бөлшек шексіз периодты ондық бөлшекпен, ал бөлімінің жіктелуіне тек 2 мен 5 цифрлары енетін болса, онда бөлшегі шектеулі ондық бөлшекпен өрнектеледі. Жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды жасауға болады: кез келген оң рационал сан не шектеулі ондық бөлшекпен, не шексіз периодты ондық бөлшекпен өрнектеледі. Шектеулі ондық бөлшектерді олардың оң жағына нөлдер тіркеу арқылы шексіз бөлшек түріне келтіруге болады. шектеулі ондық бөлшекті периоды нөлге тең шексіз ондық бөлшек деп есептеуге келісейік. Сонда кез келген оң рационал сан шексіз периодты ондық бөлщек түрінде өрнектеледі деп айтуға болады. сондай-ақ кері тұжырым да дұрыс болады: кез келген шексіз периодты ондық бөлшек қандай да бір оң рационал санды білдіреді. Енді кері мәселені қарастырайық: шексіз периодты ондық бөлшекті қалай жай бөлшекке айналдыруға болады? Айталық, периоды 0,(24) бөлшегі берілсін. Оған сәйкес болатын санды а деп белгілейік, сонда а ꞊ 0,242424... Егер үтірді оңға қарай екі орынға жылжытсақ, а саны 100 есе артады, яғни 100а ꞊ 24,2424... немесе 100а ꞊ 24+0,2424... Сонымен, 100а ꞊ 24+а. Соңғы теңдеуді шешсек, а ꞊ немесе а ꞊ . Бұдан 24 бір мезгілде бөлшегінің алымы және 0,(24) бөлшегінің периоды екенін байқау қиын емес. Енді периоды 0,7(61), яғни 0,76161... бөлшегі берілген болсын. оған сәйкес болатын рационал санды b деп белгілейік. Сонымен, b ꞊ 0,76161... Егер үтірді оңға қарай бір орын жылжытсақ, b саны 10 есе артады, яғни b ꞊ 7,6161... Енді х ꞊ 7,6161... деп белгілейік. Егер соңғы теңдіктегі үтірді оңға қарай екі орын жылжытсақ, онда х саны 100 есе артады, яғни 100х꞊ 761,6161... немесе 100х ꞊ 761+0,6161... Теңдіктің екі жағына да 7-ні қоссақ, 100х+7 ꞊ 761+7,6161... Ал 7,6161... ꞊ х деп келіскен болатынбыз. Олай болса, 100х+7 ꞊ 761+х. Бұдан х ꞊ х-тің осы мәнін 10b ꞊ 7,6161... теңдігіне қойғанда 10b ꞊ . Бұдан b ꞊ ꞊ ꞊ . Сонымен, b санын өрнектейтін бөлшектің алымындағы айырма бөліміндегі тоғыздықтардың және нөлдің орналасуы санның ондық жазылуы мен бөлшек арасындағы байланысты тағайындауға мүмкіндік береді. Біз қарастырған мысалдарда шексіз бөлшектерге амалдар қолдану шектеулі ондық бөлшектер үшін анықталған ережелер бойынша орындалатынын байқадық. Осы себепті жүргізілген есептеулер тым қарапайым болғанымен, олар шексіз периодты ондық бөлшекті жай бөлшекке айналдырудың ережесін тұжырымдауға мүмкіндік береді. Сонымен: Таза периодты шексіз ондық бөлшек алымы оның периодына, ал бөлімі периодта қанша цифр болса, сонша тоғыздықтан тұратын сан болатын жай бөлшекке тең. Бүтін бөлігі нөлге тең болатын аралас периодты шексіз ондық бөлшек алымы екінші периоды басталғанға дейінгі цифрлардан тұратын санның айырмасы, ал бөлімі периодта қанша цифр болса, сонша тоғыздықтардан және бірінші период басталғанға дейін қанша цифр болса, сонша нөлдерден тұратын жай бөлшекке тең. Жоғарыда біз оң рационал сандарға тән белгілерді сипаттайтын қорытындылар жасадық. Олар кез келген рационал сан үшін де дұрыс болады. Мәселе мынада: рационал санның бөлшек бөлігі теріс емес рационал сан. Сонымен бірге рационал санның шексіз ондық бөлшек түрінде өрнектелуіндегі үтірден кейінгі ондық таңбалар осы санның бөлшек бөлігінің ондық таңбаларымен дәл келеді. Сондықтан осы айтылғандарды кез келген рационал сан үшін мынадай түрде тұжырымдауға болады: Әрбір рационал сан периодында тоғыздықтар болмайтын шексіз периодты ондық бөлшекпен өрнектеледі. Периодында тоғыздықтар болмайтын кез келген периодты ондық бөлшек бөлу алгоритмін орындау нәтижесінде шығарылып алынатын қандай да бір рационал санның өрнектелуі болып табылады. жүктеу/скачать 0,87 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|