Устойчивость по первому приближению. Будем рассматривать автономную систему
И ее «систему первого приближения»
Заметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.
Классификация точек покоя для автономных систем второго и третьего порядков. Система второго порядка.
Запишем уравнение автономной системы второго порядка
Точка покоя
1. Корни характеристического уравнения действительны..
А) .
При . Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.
Заметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось , второе слагаемое – проекция на ось .
Такая точка покоя называется Устойчивый узел.
Б) .
Этот случай можно рассматривать как предыдущий, если формально положить t < 0. Получим те же траектории, что и в п. а), но стрелки на них будут направлены в другую сторону. Направление движение другое (t<0). Такая точка называется Неустойчивый узел.
В) .
По вектору мы, находясь на траектории, стремимся к нулю, по вектору , наоборот, удаляемся от нуля.
Такая точка покоя - Седло. Г) .
Это – тоже седло, но стрелки
Направлены в другую сторону.
Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.
Седла – неустойчивые точки покоя. Заметим, в ситуациях узлов и седла траектория, начавшись в определенном квадранте, в нем и остается.
Д) .
Точка покоя – Дикритический узел,
Устойчивый при , неустойчивый при
Е)
Точка покоя - Вырожденный узел, При устойчивая, но не асимптотически устойчивая. Если , то точка покоя - неустойчивая (стрелки направлены в обратную сторону)
Ж) . Точка безразличного равновесия. При изменении времени любая точка остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.
2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.
Параметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат (в периодической составляющей).
А) Если , то траектория приближается к началу координат с ростом t (спираль), так как - убывающая функция. Точка покоя Устойчивый фокус Асимптотически устойчива
Б) если , то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как - возрастающая функция. Точка покоя Неустойчивый фокус неустойчива
В) если , то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя Центр Устойчива, но не асимптотически устойчива.
