11. Ряд и интеграл Фурье Постановка задачи. Пространство со скалярным произведением. Нормированное про-
странство. Сходимость в среднем. Гильбертово пространство. Скалярное произведение и
норма функции. Поточечная, равномерная сходимость и сходимость в среднем последо-
вательностей и рядов. Ортогональные и ортонормированные элементы пространства со
скалярным произведением. Обобщенный ряд Фурье. Свойства остатка ряда Фурье. Не-
равенство Бесселя. Условие сходимости ряда Фурье. Равенство Парсеваля. Замкнутые и
полные ортонормальные системы элементов в пространстве со скалярным произведени-
ем. Теоремы о связи между замкнутой и полной системой. Ряд Фурье по ортогональной и
ортонормированной системам функций. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля
для этих рядов. Тригонометрический ряд Фурье. Разложение четной и нечетной функции
в тригонометрический ряд Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Точечная и равномер-
ная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Полнота тригонометрической системы
функций. Двойные и тройные ряды Фурье.
Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье. Достаточные признаки сходимости
интеграла Фурье. Представление функции интегралом Фурье. Представление четной и
нечетной функции интегралом Фурье. Комплексное прямое и обратное преобразования
Фурье. Синус и косинус преобразования Фурье.
