Векторлық алгебра негізгі түсініктер
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Pdf көрінісі
|
Лекции по курсу ОВТА каз
1.7. Дивергенция
Векторлық функцияларды дифференциалдау скалярлық функцияларды дифференциалдаудың жалпы түрі болып табылады. Мысалы: ) (t r дененің кеңістіктегі t уақытағы орнын анықтасын.
13-сурет 26
Сонда (13-сурет): , ) ( ) ( lim ) ( 0 v t t r t t r dt t r d t
v - сызықтық жылдамдық, ал - операторын 1.6-параграфта векторлық оператор деп қарастырдық. Енді оның векторлық және дифференциалдық қасиеттерін пайдаланып, оның векторлық шамаларға әсерін қарастырайық.
операторының векторға скаляр көбейтіндісі:
, z V y V x V V z y x (1.60) V
векторының дивергенциясы деп аталады. 1.3-бөліміндегі анықтама бойынша, бұл скаляр шама. Мысалы:
( )( ) 3; x y z r i j k ix jy kz x y z x y z
r f r r f r zf z r yf y r xf x r f r ) ( 3 )) ( ( )) ( ( )) ( ( ) ( . Дербес жағдай 1 )
r r f болса, онда
1 1 0 1 ) 1 ( 3 n n n n r n r r r r r
олай болса n=-2 болғанда, онда осы шаманың дивергенциясы нөлге тең болады.
27
Дивергенцияның физикалық мағынасы түсінікті болу үшін )
v қарастырайық, мұндағы ) ,
( z y x v сығылатын сұйықтың ағысының жылдамдығы, ) , , (
y x
– (x,y,z) нүктесіндегі тығыздығы. Dxdydz – көлем элементін қарастырсақ (14-сурет), онда EFGH бетінен бірлік уақытта ағатын сұйық мөлшері: (келген) EFGH
= v x dydz, ал АВС D бетінен шығатын сұйық мөлшері: (кеткен)
=
dydz dx v x v x x ) ( . Туынды тығыздықтың біртектілігін және жылдамдықтың х координатына тәуелділігін ескереді. Осы аралықта ағып өткен сұйық мөлшері екеуінің айырмасына тең, яғни х осі бойынша:
) ( . Қалған 4 беттен ағып өтетін сұйықтарды ескерсек, онда толық ағып өткен сұйық (уақыт бірлігінде):
( ) ( ) ( ) ( ) . x y z v v v dxdydz x y z v dxdydz . (1.61)
14-сурет
28
Толық сығылатын сұйықтық бірлік көлемнен бірлік уақытта ағып өтетін мөлшері ) ( v -ға тең. Дивергенция және шығындылық деген атауы да осыдан.
0 )
v t (1.62) – үздіксіздік теңдеуі деп аталады.
( ) ( ) ( ) ( ) , x y z y x z x y z fv fv fv fv x y z v v v f f f v v v f f f x y z x y z f v f v
(1.63) мұндағы
f - скаляр, ал v - векторлық функция. Дербес жағдай. Егер 0
B , онда B векторы соленоидты деп аталады. 1.8. Ротор
z y x z y x x y z v i v v j v v y z z x i j k k v v x y x y z v v v (1.64) 29
– пайда болған теңдеу v векторының роторы деп аталады. Анықтауышты есептегенде немесе кез келген басқа операторымен жұмыс істегенде оның дифференциалдық табиғатын ескеру қажет. Арнайы ескертейік,
v - жаңа
диффренциалдық оператор. Жалпы жағдайда v v . Егер векторды скаляр мен векторға векторлы көбейтсек, онда
( ) ( ) ;
y x y z z y x x fv i fv fv y z v v f f i f v f v y y z z f v f v
(1.65)
. fv f v f v (1.66)
(1.66) теңдеуі (1.63) теңдеуінің көшірмесі. Мысалы: ( )
( ) ( ( )) rf r f r r f r r
А) 30
0.
j k r x y z x y z
Б) r d df r r f 0 ) ( екендігін пайдаланып,
0 ) ( 0 r r dr df r f r , себебі
r r r 0 , 0 0 0 r r . v шамасы v вектор өрісінің роторы есептелетін нүктедегі айналуын сипаттайды, сондықтан rot деп аталады. хy жазықтығында қатты дене z осі бойынша бұрыштық жылдамдықпен айналады дейік. Онда қатты дененің нүктесінің
сызықтық жылдамдығы ( r – радиус-вектор):
V r . (1.67)
Мұны r көбейтіндісін табу үшін қарастырайық:
( )
r , (1.68)
( ) ( ) ( ) r r r r r
(1.69)
дифференциялдық оператор, сондықтан: ( ) . r r r r r
(1.70)
31
const болғандықтан (1.70) теңдеуінің 2-ші және 3-ші мүшелері нөлге тең.
3 r
(1.71)
болғандықтан және
( )
) ( ) . x y z x y z r ix jy kz ix jy kz x y ix jy kz i j k z (1.72) (1.71), (1.72) теңдеулерін (1.70) апарып қойсақ, онда
( ) 2 V r
(1.73)
болады. Яғни, қатты дененің сызықтық жылдамдығының роторы екі еселенген бұрыштық жылдамдығына тең. Егер,
v 0 (1.74)
болса, онда V векторын құйынсыз деп атайды. Құйынсыз векторларға, мысал ретінде, гравитациялық және электростатикалық күштерді жатқызуға болады.
0 2 3 , r r V C C r r
(1.75)
мұндағы С – тұрақты, 0 r – радиус-вектор бағытындағы бірлік вектор.
32
1.9. операторын біртіндеп қолдану
Градиент, дивергенция және ротор түсініктері арқасында вектор, скаляр және олардың комбинациясын алуға болады. Енгізген барлық шамаларға
, , , , ( ) V V V
тәрізді өрнектер аламыз. Бұл өрнектер 2-ші реттік дифференциялдық теңдеулерге кіреді.
2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) . i j k i j k x y z x y z x y z
Градиенттің дивергенциясын – лапласиан деп атайды. Екінші өрнекті жазайық:
,
j k x y z x y z (1.76)
2 2
2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0. i y z z y j k z x x z x y y x
(1.77) 33
Мұнда біз дифференциялдау ретін өзгертуге болады деп есептедік. Ал ол өз кезегінде тек -дің бірінші ретті дербес туындылары үздіксіз болғанда ғана орынды. (1.77) теңдеуінен 0
rot екендігін көрдік, яғни градиент - құйынсыз вектор. Төртінші өрнек (аралас көбейтінді ретінде қарастырамыз):
2 2 2 2 2 2 0, x y z y y x x z z x y z V x y z V V V V V V V V V x y y z z x z y x z y x
(1.78)
яғни, 0
(1.79) жоғарыдағы шарт
десек , 0 ) (rot div ротор әрқашан соленоидты вектор. Соңғы өрнекті қарастырайық:
( )
V V
. (1.80)
Декарттық координаталар жүйесінде
x y z V i V j V k V
34
(1.80) өрнегі электромагниттік теорияда қолданылады. Вакуум үшін Максвелл теңдеулері:
0
) 0, ) , ) 0, ) ,
B в B t б г t
(1.81)
мұндағы
– электр өрісі, В – магнит индукциясы, 0 0 , электрлік және магниттік тұрақтылар. векторын (1.81в) және (1.81 г) теңдеуінен анықтауға болады делік. (1.81 г) теңдеуінің роторын есептейік:
( )
t (1.82)
(1.81в) теңдеуінен уақыт бойынша туынды алайық:
2 0
2 ( ) ( ),
t
2 0 0 2 ( ) ,
(1.83) 2 0 0 2 ( ) , t
2 0 0 2 .
(1.84) Егер
E векторын декарттық координаталарда жазсақ, онда (1.84) теңдеуі 3 скаляр толқындық теңдеуге бөлінеді.
|