Векторлық алгебра негізгі түсініктер
Векторларды интегралдау
жүктеу/скачать 1,18 Mb. Pdf көрінісі
|
Лекции по курсу ОВТА каз
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.11 Гаусс теоремасы
- 1.12 Стокс теоремасы
1.10 Векторларды интегралдау Векторларды дифференциалдаудан соң
оларды интегралдауды қарастырайық. Сызықтық интегралдаудан бастап, беттік және көлемдік интегралдауға көшеміз. Бірақ әрдайым векторларды интегралдау скаляр функцияларды интегралдауға әкеліп тірелетін болады. Ұзындық өсімшесі
d ды пайдаланып, келесі сызықты интегралдарды анықтаймыз:
C r d a , ) б)
r d V , в)
r d V . (1.85)
Мұнда тұйық не тұйық емес С контуры бойынша интегралданады.
) ( , , )
C C a dr i x y z dx
( , , )
( , , ) .
C j x y z dy k x y z dz (1.86)
Біз
, ,
i және k бірлік векторларын тұрақты (яғни, тек декарт координаттар системасында ғана) деп,
i dx i dx (1.87)
екенін пайдаландық. (1.86) теңдеуінің оң жағындағы скаляр потенциалдарды, дәлелдеусіз Риман интегралдары деп қабылдайық. y және z айнымалылардың х-ке тәуелділігін білмей тұрып х бойынша интегралдауға болмайды (басқа айнымалыларға да қатысты). С контурын анық білу қажет. Егер интеграл астындағы функция арнайы қасиеттерге ие болмаса (нәтижесінде интеграл тек 36
контурдың соңғы мүшелеріне ғана байланысты), интеграл шамасы С контурының ерекшеліктеріне байланысты болады. Мысалы: 1 болсын. Онда (1.85 а) интегралы С контурының бастапқы нүктесінен соңғы нүктесіне дейінгі векторлық арақашықтыққа тең болады. Бұл жағдайда интеграл мәні интегралдау жолына
тәуелсіз болады.
Егер dz k dy j dx i r d болса, онда екінші және үшінші интегралдарда (1.85 а) интегралы сияқты скаляр шамалардан интегралға келіп тіреледі. (1.85 б) интегралы белгілі жол арақашықтығында жұмсалған күштің мөлшерін, яғни жұмысты анықтайды:
W F dr
. (1.88) Мысалы: 2 2 2 y x r скаляр функциясын координаттар басынан (1,1) нүктесіне дейін есептейік (15-сурет).
15-сурет
37
) 1 , 1 ( ) 0 , 0 ( ) 1 , 1 ( ) 0 , 0 ( ) 1 , 1 ( ) 0 , 0 ( 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) )( (
y x j dx y x i dy j dx i y x
(суретте көрсетілген контур бойынша интегралдайық)
1 1 2 2 2 2 (0, 0) ( 1,0) 1 4 ( ) ( ) 3 3
x y x i x y dx j x y dy i j ,
екінші
контур бойынша
интегралдасақ 1 , 1 1 , 0 0 , 0 , 1 ) 0 , 0 ( 1 ) 1 , 0 ( 2 2 2 2 3 1 3 4 ) ( x y j i dy y x j dx y x i , үшінші контур x=y түзуі бойынша
(1,1) 2 2 2 2 (0,0) 4 4 ( ) ( ) . 3 3 i x y dx j x y dy i j
Демек, интеграл С контурға тәуелді.
16-сурет
38
Беттік интегралдар да сызықты интегралдар сияқты, бірақ
r d орнына
жазу керек. Оның орнына жиі
(мұндағы n – бірлік нормал вектор, 16-сурет) деп жазады. Оң бағытты белгілеудің 2 жолы бар. Егер бет тұйық болса, онда оң бағыт көлемінің ішінен сыртына қарай бағытталады. Ал ашық беттер үшін оң бағыт периметрі бойынша жүріп өту бағытына байланысты. Оң қолымыздың саусақтарын контурды жүріп өту бағытында қойсақ, онда бас бармақ оң бағытпен сәйкес болады.
V беттік интегралы осы бет бойынша ағысты береді. Көлемдік интегралдар кішкене жеңілдеу, себебі көлем элементі
– скаляр.
. X y z V V V V Vd i V d j V d k V d . (1.89)
Беттік және көлемдік интегралдар бойынша
дифференциялдық қатынастарды қайта анықтауға болады:
0 lim
d d d , (1.90)
0 lim
d V d V d , (1.91)
0 lim
d d V V d . (1.92)
39
Мұндағы d – кеңістіктің кіші көлемі, d – осы көлемнің беттік векторлық элементі (1.90) өрнек (1.53) өрнекте анықталған
үшін d -ды
dxdydz дифференциялдық көлемге алмастырайық және координаттар басы параллелипедтің геометриялық центрінен басталсын (17-сурет).
17-сурет
Беттік интеграл алты параллелипед беті бойынша интеграл береді. d векторын
i d EFGH үшін, ал ABCD үшін ол
тең екенін ескеріп,
40
( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) EFGH ABCD AEHD AEFB DCGH dx dx i dydz i dydz x x dy dy j dxdz j dxdz y y z dz k dxdy k dxdy z z i j k dxdydz x y z
BFGC (1.93)
Осы өрнекті
d шамасына бөлсек, (1.90)-ның дұрыстығына көз жеткіземіз. Дәлелдеу кезінде туындының жоғарғы реттері кіретін мүшелерін ескергеніміз жоқ. Тейлор қатарына жіктегенде ол мүшелер
) 0 , 0 , 0 ( 0 dz dy dx d шегінің арқасында жойылады. Әрине, қатаң дәлелдеме үшін ((1.90)- (1.92) өрнектері үшін) осы шектік жағдайды орындау қажет.
және V шамалары берілсін және олар біз қарастыратын аумақ бойынша үздіксіз болсын. Гаусс теоремасы:
S V V d Vd
. (1.94) V қарастырғанда, бірлік көлемнен аққан сұйықтың салмағын байқауға болады. Сондықтан, (1.94) теңдеуінің бірінші бөлігі интегралдау арқылы жүргізілген V көлемнен аққан сұйықтың толық салмағына тең. Біздің түсінігімізше, теңдеудің сол жақ бөлігі S жоғарғы жағы арқылы өткен сұйық ағымын көрсетеді, берілген көлемнің шектелуіне байланысты Гаустың
41
теоремасын дәлелдейміз. Гаусс теоремасының нақтыланған және математикалық қатаң дәлелденуін ғылыми әдебиеттерден табуға болады. Гаусс теоремасынан өте маңызды, әйгілі Грин теоремасы шығады. Егер u және v екі скаляр функциялар болса, онда:
( ) ( ) ( ),
u v u v (1.95)
( ) ( ) (
). v u v u v u (1.96) (1.96) дан (1.95)-ті аламыз, көлем бойынша интегралдағанда (u,v және олардың туындылары шексіз) және (1.94) (Гаусс теоремасы) формуласын пайдаланғанда, Грин теоремасын аламыз:
( ( ) ( ) .
S u v v u d u v v u d (1.97) (1.95) теңдеудің басқаша жазылуын қарастыруға болады:
. S V V u v d u vd u vd
(1.98)
Егер интеграл көлемінің құрамында градиент пен ротор болса, (1.94) формуласы дивергенцияны пайдаланған ең негізгі формула Гаусс теоремасы осындай түрде кездесуі мүмкін. Демек,
( , , ) ( , , )
, V x y z V x y z a (1.99)
– абсолюттік шама және бағыты бойынша тұрақты вектор (бағыт әрі түрлі болып таңдалады, бірақ таңдалған соң ол тұрақты болып есептеледі). (1.62а) көмегінсіз-ақ (1.94) теңдеуі бұл жағдайда былай жазылады:
42
,
(1.100)
0.
(1.101)
0, .
V a Vd Vd (1.102) Салыстырмалы түрде есептегенде V a P
( a – тұ-
рақты вектор), жеңіл дәлелденеді
S V d P Pd . (1.103)
1.12 Стокс теоремасы Гаусс теоремасы функцияның дивергенциясын көлем бойынша интеграл мен көлемді қоршап тұрған бет бойынша осы функцияның интегралын байланыстырады.
18-сурет 43
Енді функцияның дивергенциясын бет
бойынша интегралдау мен осы беттің периметрі (яғни сызықты интеграл) бойынша интегралдың байланысын қарастырайық.
( ).
x x y z z S S y z z x x y V V V Vd d d d z y x V V V d d d z y x (1.104)
Бұл беттік интеграл S беті бойынша интегралданады. x=c жазықтығымен S бетін қисын, яғни “көлденең қимасы” АВ түзуі болады (18-сурет). Оң бағыт А нүктесінен В нүктесіне бағытталса, онда d бағыты суретте көрсетілген:
,
. (1.105)
dx өсімшесі x=c және x=c+dx тиісті dx жазықтығы аралығында жатады.
19-сурет 44
x V тің
туындыларын осы
өсімше бойынша
интегралдаймыз:
( ) ( ) x x x x y z S S dV dV V V d d dy dz dx z y y z . (1.106) А нүктесінен В нүктесіне дейін интегралдауда х – тұрақты, сондықтан
x x x V V dy dz dV y z (1.107) немесе,
( , , ) ( , , ) B x x B B x A A A dx dV V x y z dx V x y z dx . (1.107а)
Беттің периметрімен қозғалғанда: егер В нүктесіне қарай қозғалсақ x d dx ; егер А нүктесінің бағытында қозғалсақ, онда
x d dx , мұндағы
d периметр бойындағы вектордың өсімшесі.
( )
x y z x x S V V d d V d z y . (1.108)
белгісі тұйық контур бойынша интегралдауды білдіреді. Біздің жағдайда беттің периметрі. Басқа координаталар үшін де осылай қайталай аламыз.
( ) . x x y y z z V d V d V d V d V d (1.109) 45
Стокс теоремасын пайдаланып беттік және сызықтық бірнеше интегралдар байланысын жазуға болады:
, S d d
(1.110)
( )
S d d (1.111)
(1.110) теңдеуін дәлелдейік. a V деп алып (
бағыты және шамасы тұрақты вектор), (109) теңдеуіне апарып қоямыз. Теңдіктің сол жағы:
) ( ) . S S S a d a d a d
(1.112)
Теңдіктің оң жағы:
.
(1.113) Теңдіктің сол жағын оң жағына көшірсек, онда
( ) 0. S a d d
(1.114) a - тұрақты вектор болғандықтан, жақшаның ішіндегі шама нөлге тең. (1.111) теңдеуі де осылай дәлелдеуге болады, мұндағы
V a
. (1.109) теңдеуіне қайта оралайық.
V мүшесін тұйық контур ішінде айналып жүрген сұйық деп қарастырайық. Бетті
d k (дөңгелек) десек, онда d V ху жазықтығында 46
жататын d ауданы болатын тұйық контурдың ішіндегі V
векторының циркуляциясына (ағын қозғалысына) тең болады. Айналатын винтті осы бет үстінде ұстаса және егер ол айналмаса, онда Стокс теоремасынан
векторы құйынсыз деген қорытынды жасаймыз. жүктеу/скачать 1,18 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|