Декарт (тікбұрышты) координаталары

 

56 

                                

2

2

2

2

2

2

z

y

x





































,          (2.26) 

 

                                         

x

y

z

i

j

k

V

x

y

z

V

V

V



















  





















.                  (2.27) 

 

2.4. Сфералық координаталар 

 

 

                       



 









,

,

,

,

3

2

1

r

q

q

q

: 

 

1.  Центрі ортақ координаталар басында болатын концентрлі  

сфералар: 

 

.

2

2

2

const

z

y

x

r









 

 

2.  Шыңы координаталар басында болатын, скаляр z осі бола- 

тын концентрлі тік конустар:                                   

                            

.

cos

2

2

2

const

z

y

x

z

ark











 

  

3.  z осі өтетін жарты жазықтықтар: 

                                     

const

x

y

arctg







,  

 



 поляр  бұрышы мен 



 азимут  бұрыштарының кез келген бола 

алатындығынан  z  осіне  “байлап    қоямыз”,  яғни  z  осінен 

бұрыштар есептеледі.                                    

Декарт координаталар жүйесімен байланысы:  

 

57 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                      

 

22-сурет 

               

sin cos ,

sin sin ,

cos

x

r

y

r

z

r

















.  (2.28) 

0

, 0

2 , 0

.

r





 

   

 

 (2.6) теңдеуінен:        

2

2

2

2

2

1

11

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

33

sin

cos

sin

sin

cos

1

cos

cos

cos

sin

sin

sin

sin

sin

cos

sin

x

y

z

h

h

r

r

r

x

y

z

h

h

r

r

r

r

h

h

r

r

r



















































































































































































1

2

3

1,

,

sin .

r

h

h

h

h

r h

h

r



















(2.29) 

 

58 

 

0

0

0

,

,









r

 – бірлік векторлары 



 және 



 бұрыштарының 

өзгеруіне  байланысты  бағыттарын  өзгертіп  отырады  (22-

сурет).  Осы  бірлік  векторлар  декарттық  КЖ-ның  бірлік 

векторлары

k

j

i







,

,

арқылы жазуға болады: 















































cos

sin

sin

sin

cos

cos

cos

cos

sin

sin

cos

sin

0

0

0

j

i

k

k

i

k

j

i

r





















 

0

3

0

2

0

1

,

,























a

a

r

a

-ден, 2.2 бөлімдегі:  

         





0

0

0

1

1

2.13

sin

r

r

r

r







 







  













          (2.30)   

 

59 





 





2

2

sin

1

2.17

,

sin

sin

r

r V

r

V

V

r

r

V

r

































   



























             (2.31)                       





2

2

2

2

sin

1

2.18

sin

,

sin

1

sin

r

r

r

a

r

























 

































   

 



























 















          (2.32)         





0

0

0

2

sin

1

2.22

.

sin

sin

r

r

r

r

V

r

r

V

rV

r

V







 































 

 





















          (2.33) 

 

Векторлық  лапласиан 

V





2



сфералық  координаттарда 

қандай түрде болатынын көрейік. Ол үшін (1.30) векторлық 

теңдеудің көмегімен табамыз: 

 





V

V

V











































: 

 

 

60 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

sin

1

1

sin

r

r

r

r r

r

r

V

V

r

r



 



 







































 

























 

          

     

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 cos

2

sin

sin

2

2

2 cos

2

,

sin

sin

r

r

V

V

r

r

r

V

V

V

V

V

r

r

r

r

















 























 



  































 

















   (2.34) 

 

 

 

2

2

2

2

2

2

1

2

2 cos

,

sin

sin

r

V

V

V

V

V

r

r

r















 







 











   (2.35)  

 

 

 

2

2

2

2

2

2

2

1

2

sin

sin

2 cos

.

sin

r

V

V

V

V

r

r

V

r

























 



















                (2.36) 

 

 

2.5.  Айнымалыларды ажырату 

 

 

Гельмгольц (2.1) теңдеуі декарт КЖ-де жазайық: 

 

                                   

2

2

2

2

2

2

2

0,

k

x

y

z





























          (2.42) 

 

61 

 

const

k



2

  болатын  жағдайды  қарастырайық.  Ең  оңай  жолы 

дербес  туындылардың  дифференциалдық  теңдеуін  қарапайым 

дифференциалды  теңдеулер  жүйесіне  көшіру  керек  (2.42) 

болады. Ол үшін,  

 

                               





     

, ,

,

x y z

X x Y y Z z









        (2.43) 

 

деп  қабылдап,  (2.42)  теңдеуін  қоялық.  Бірақ  әрқашан  да  бұлай 

деп  жазуға  болмайды.  Егер  осы  жолмен  (2.42)  теңдеуін  шеше 

алсақ,  онда  осы  жолдың  дұрыстығына  көз  жеткіземіз. 

Шешілмесе,  интегралдық  теңдеулерді  Грин  формуласының 

көмегімен не жуықтап шығару керек. 

 

Әзірге  (2.43)  теңдеуі  орындалады  деп,  (2.42)  теңдеуін 

қарастырамыз: 

 

           

2

2

2

2

2

2

2

0,

d X

d Y

d Z

YZ

XZ

XY

k XYZ

dx

dy

dz









  (2.44) 

 

XYZ





 формуласына бөліп табатынымыз: 

 

                                

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

,

d X

d Y

d Z

k

X dx

Y dy

Z dz

  



           (2.45) 

 

Сонымен,  айнымалылар  бөлінеді:  теңдеудің  сол  жағы  тек  k-ке 

ғана байланысты, ал оң жағы – y және z айнымалыларына, x,y,z 

– тәуелсіз айнымалылар болғандықтан, x-тің “тәртібін” y және z 

айнымалыларымен анықтай алмаймыз. Сондықтан теңдеудің екі 

жағы  да  бір  тұрақтыға  теңестіріледі.  Оны  бөлу  тұрақтысы  деп 

атайды. 

                                                    

2

2

2

1

,

d X

l

x dx

 

                         (2.46)  

 

62 

                                     

2

2

2

2

2

2

1

1

,

d Y

d Z

k

l

Y dy

Z dz

 



 

              (2.47)                           

                                        

2

2

2

2

2

2

1

1

.

d Y

d Z

k

l

Y dy

Z dz

   

             (2.48) 

 

Тағы да (2.48) теңдеудің екі жағында тұрақтыға теңестіреміз: 

 

                                                     

2

2

2

1

,

d Y

m

Y dy

 

                       (2.49) 

                                    

2

2

2

2

2

2

1

,

d Z

k

l

m

n

Z dz

   

 

            (2.50) 

 

2

n

  тұрақтысы  арқылы  (2.46),  (2.49)  және  (2.50)  симметриялы 

үш  қарапайым  дифференциалдық  теңдеу  аламыз.  Сонымен, 

(2.43) жорамалымыз орындалды. 

Сонымен, шешімін жазамыз: 

 

                            





     

, ,

,

lmn

l

m

n

x y z

X

x Y

y Z

z









       (2.50а) 

 

мұндағы 

2

2

2

2

n

m

l

k







теңдеуін 

қанағаттандыратын 

сандар  (2.46)  формуласы  (2.1)  теңдеуінің  шешімі  бола  алады, 

егер 

 

l

X

x

-(2.46)  теңдеуінің  шешімі, 

 

y

Y

m

-(2.49), 

 

z

Z

n

-

(2.50)  теңдеуінің  шешімі  болса,  онда  (2.1)  теңдеуінің  жалпы 

шешімін: 

 

63 

                                                   

,

lmn

lmn

lmn

a









                    (2.50б) 

 

lmn



  формулаларының  сызықты  комбинациясы  түрінде  жазуға 

болады. 

lmn

a

 

коэффициенттерін  шекаралық  шарттарды 

қанағаттандыратындай етіп қабылдайды. 





2

2

k







 

шамалары  сызықты  дифференциалды 

болғандықтан  жалпы  шешімін  (2.50б)  түрінде  жазуға  болады. 

Сызықты шамалар 



 деп аталады, егер 

 

 





1

2

1

2

,

a

a



 







  



 

 

 

теңдеуін қанағаттандырса, мұндағы   a - тұрақты. 

 

Егер  

 

                                  

     

2

2

,

k

f x

g y

h z

k











            (2.50в) 

 

болса, айнымалыларды бөлу әдісі орындалады, 

мұндағы 

2

k



-басқа  (жаңа)  тұрақты  (2.46)  теңдеуінің  түрі   

 

2

2

2

1

,

d X

f x

l

X dx



 

  (2.50г)  болады.  Онда  X,Y,Z  шешімдері 

басқа  болады,  алайда  дифференциалдық  теңдеуді  түрлендіру 

және  шешімдерінің  сызықты  комбинациясын  құру  жолдары 

бірдей болады. 

 

Мақсатымыз - әртүрлі КЖ-де айнымалыларды ажыратуға 

болатынын көрсету. 

 

Енді  (2.1)  теңдеуінің  сфералық  КЖ-дегі  шешімін 

қарастырайық: 

 

 

64 

     

2

2

2

2

2

sin

sin

1

,

sin

1

sin

r

r

r

k

r



















 























































  



















 (2.51) 

 

 

                                    





     

, ,

,

r

R r



 











            (2.52) 

 

деп қарастырайық, (2.52) 



 (2.51): 

 

 

2

2

2

2

2

sin

sin

1

sin

sin

.

R

r

R

r

r

r

R

k R











 























 

































 





  















 



 (2.53) 

(2.53) теңдеуін 

1

R















жүктеу/скачать 1,18 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: