Векторлық алгебра негізгі түсініктер



Pdf көрінісі
бет9/9
Дата21.12.2019
өлшемі1,18 Mb.
#53896
1   2   3   4   5   6   7   8   9
Байланысты:
Лекции по курсу ОВТА каз


3.5.   Аффинорлар   (Диада) 

 

Қарапайым  векторлық  талдау  ережелерін  2

ші

  рангты 



тензорларға да орындалуы үшін аффинорлар енгізіледі. 

i

  және 



j

  екі  вектордан   



j

i



    комбинациясын  қарастыралық.  Осы 

комбинация  аффинор  деп  аталады.  Сол  жағынан  көбейту 

(скалярлық немесе векторлық) дегеніміз: 

 

            



.



x

y

z

x

ij

i

j

k

i

j

j



 

     

  





      (3.60) 

 

Оң жағынан көбейту дегеніміз: 



 

                 



x



y

z

y

ij

i

j i

j

k

i



  

    

 





      (3.61) 

 



көбейту  амалы  коммутациялы  емес.  Әрқашан   

i

    және 



j

 



векторлары     

i



j

  аффинорында  өзара  әсерлеспейтінін  білу 



қажет.  Егер  бұл  векторлардың  коэффициенттері  көбейтіледі, 

алайда  бірлік  векторлардың  өздері  не  скалярлы,  не  векторлы 

көбейтінді құрамайды, 



i



j

j

i





Енді   


А

  және   



В

 векторлар комбинациясын құрайық. 



 

86 


 

          





.

x

y

z

x

y

z

x

x

x

y

x

z

y

x

y

y

y

z

z

x

z

y

z

z

i

j

k

i

j

k

ii

ij

ik

ji

jj

jk

ki

kj

kk

        

     

               

           

  (3.62) 

 

 







аффинорлар  қосындысы,  демек  аффинор  шама. 

Екі  вектордың  көбейтіндісі  2

ші

  рангты  тензор  болады  деп 



айттық. 

Аффинор  –  2

ші

  рангалы  тензор,  табиғаты  вектор  екенін 



дәлелдейді. 

Жоғарыда  вектор  мен  аффинорлар  көбейтінділері 

коммутативті  емес  дедік.  Алайда  коммутативті    болатын 

жағдайды қарастырайық. 

 

                                   



a

a

   

,                            (3.63) 

 

мұндағы 





аффинор,  





a

кез келген вектор. 



Егер 

i

a



 болса, онда 

,

x

x







  яғни 

 

                           



x

x

x

y

x

z

x

x

y

x

z

x

i

j

k

i

j

k

        

        

                (3.64) 

 

Компоненттерді  теңестірейік: 



 

              

,

,

x



x

x

x

x

y

y

x

x

z

z

x

    

    

    

     (3.65) 


 

87 


,

c

  

мұндағы 


c

=Const.  Яғни,  кез  келген  векторға 

көбейту коммутативті болу үшін, аффинор симметриялы болуы 

керек. 


Аффинордың қажетті қасиеттерінің бірі – координаттарды 

таңдай  отырып,  оларды  әрқашан    нормаль  немесе  диаогональ 

түрге келтіруге болады: 

 

                               



xx

yy

zz

ii

jj

kk

      

.              (3.66) 

 

Симметриялы аффинордың  геометриялық  түсініктемесін 



берейік. Симметриялы 



 аффиноры  диагоналды түрде берілсін.  

Онда 


r

 радиус-вектордың көмегімен: 



 

                                              

1

r

r

 


                           (3.67) 

 

теңдеуін  аламыз.  Ол 



r

-дің  абсолюттік  шамасына    оның 



бағытына байланысты шек қояды.  

 

     









2

2



2

1

1



xx

yy

zz

xx

yy

zz

ix

jy

kz

ii

jj

kk

ix

jy

kz

x

y

z



    









     



, (3.68) 



 

                      

1

1

1



2

2

2



,

,

xx



yy

zz

a

b

c



 


 

 


        (3.69) 

 

жарты осьтері болатын эллипсоид. 



Аффинорды  диагонал  түрге  келтіру  аффинорлы 

эллипсоидтың осьтерін координат осьтерімен сәйкес келтіру. 



U

 



қарсы 

симметриялы 

аффинор 

берілсін, 

яғни 

).

,



,

,

,



(

,

0



z

y

x

j

i

j

i

U

U

U

ji

ij

ii





 

 

Онда  кез 



келген 

a

 векторы үшін: 



 

88 


a

U

U

a







 

 

– қарсыкоммутация ережесіне бағынады. 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3   4   5   6   7   8   9




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет