3.5. Аффинорлар (Диада)
Қарапайым векторлық талдау ережелерін 2
ші
рангты
тензорларға да орындалуы үшін аффинорлар енгізіледі.
i
және
j
екі вектордан
j
i
комбинациясын қарастыралық. Осы
комбинация аффинор деп аталады. Сол жағынан көбейту
(скалярлық немесе векторлық) дегеніміз:
.
x
y
z
x
ij
i
j
k
i
j
j
(3.60)
Оң жағынан көбейту дегеніміз:
x
y
z
y
ij
i
j i
j
k
i
(3.61)
көбейту амалы коммутациялы емес. Әрқашан
i
және
j
векторлары
i
j
аффинорында өзара әсерлеспейтінін білу
қажет. Егер бұл векторлардың коэффициенттері көбейтіледі,
алайда бірлік векторлардың өздері не скалярлы, не векторлы
көбейтінді құрамайды,
i
j
j
i
.
Енді
А
және
В
векторлар комбинациясын құрайық.
86
.
x
y
z
x
y
z
x
x
x
y
x
z
y
x
y
y
y
z
z
x
z
y
z
z
i
j
k
i
j
k
ii
ij
ik
ji
jj
jk
ki
kj
kk
(3.62)
аффинорлар қосындысы, демек аффинор шама.
Екі вектордың көбейтіндісі 2
ші
рангты тензор болады деп
айттық.
Аффинор – 2
ші
рангалы тензор, табиғаты вектор екенін
дәлелдейді.
Жоғарыда вектор мен аффинорлар көбейтінділері
коммутативті емес дедік. Алайда коммутативті болатын
жағдайды қарастырайық.
a
a
, (3.63)
мұндағы
аффинор,
a
кез келген вектор.
Егер
i
a
болса, онда
,
x
x
яғни
x
x
x
y
x
z
x
x
y
x
z
x
i
j
k
i
j
k
(3.64)
Компоненттерді теңестірейік:
,
,
x
x
x
x
x
y
y
x
x
z
z
x
(3.65)
87
,
c
мұндағы
c
=Const. Яғни, кез келген векторға
көбейту коммутативті болу үшін, аффинор симметриялы болуы
керек.
Аффинордың қажетті қасиеттерінің бірі – координаттарды
таңдай отырып, оларды әрқашан нормаль немесе диаогональ
түрге келтіруге болады:
xx
yy
zz
ii
jj
kk
. (3.66)
Симметриялы аффинордың геометриялық түсініктемесін
берейік. Симметриялы
аффиноры диагоналды түрде берілсін.
Онда
r
радиус-вектордың көмегімен:
1
r
r
(3.67)
теңдеуін аламыз. Ол
r
-дің абсолюттік шамасына оның
бағытына байланысты шек қояды.
2
2
2
1
1
xx
yy
zz
xx
yy
zz
ix
jy
kz
ii
jj
kk
ix
jy
kz
x
y
z
, (3.68)
1
1
1
2
2
2
,
,
xx
yy
zz
a
b
c
(3.69)
жарты осьтері болатын эллипсоид.
Аффинорды диагонал түрге келтіру аффинорлы
эллипсоидтың осьтерін координат осьтерімен сәйкес келтіру.
U
қарсы
симметриялы
аффинор
берілсін,
яғни
).
,
,
,
,
(
,
0
z
y
x
j
i
j
i
U
U
U
ji
ij
ii
Онда кез
келген
a
векторы үшін:
88
a
U
U
a
– қарсыкоммутация ережесіне бағынады.