Виды сходимости последовательности случайных величин. Неравенства Чебышева
жүктеу/скачать 24,98 Kb.
|
Лекция-9
- Бұл бет үшін навигация:
- Основные понятия
|
Лекция №9 Тема:Виды сходимости последовательности случайных величин.Неравенства Чебышева План: 1.Виды сходимости последовательности случайных величин 2.Неравенства Чебышева Основные понятия:лемма Чебышева,Неравенства Чебышева,Теорема Чебышева,закон больших чисел,Теорема Бернулли,обобщенная теорема Чебышева. Лемма Чебышева:Если случайная величина х,для которой существует математическое ожидание M[x] ,может пинимать только неотрицательные значения,то для любого положительного числа имеет место неравенство , (1) Неравенство Чебышева.Если х-случайная величина с математическим ожиданием M[x] и дипрессией D[x],то для любого положительного имеет место неравентсво (2) Теорема Чебышева.(закон больших чисел).Пусть -последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием m и дисперсиями,ограниченными одной и той же константой с.Тогда для любого положительного числа имеет место придельное равенство Доказательство теоремы основано на неравенстве Вытекающей из неравенства Чебышева.Из теоремы Чебышева как следствие может быть получена Теорема Бернулли.Пусть производится n независимых опытов,в каждом из которых с вероятностью р может наступить некоторое событие А,и пусть -случайная величина,равная числу наступлений события А в этих n опытах.Тогда для любого имеет место предельное равенство Отметим,что неравенство (4) приминительно к усовиям теоремы Бернулли дает: Теорему Чебышева можно сформулировать в несколько более общем виде: Обобщенная теорема Чебышева:Пусть -последовательность независимых случайных величин с математическими ожиданиями M[ ]= ... и дисперсиями,ограниченными одной и той же постоянной с.Тогда для любого положительного числа имеет место предельное равенство Пример 1.Оцените вероятность того,что при 3600 независимых бросаниях игральной кости число появлений 6 очков будет не меньше 900. Решение.Пусть х-число появлений 6 очков при 3600 бросаниях кости.Тогда M[x]=3600 .Воспользуемся теперь неравенством (1) при Пример 2.Оцените вероятность того,что частота появления шестерки в 10000 независимых бросаниях игоальной кости отклонится от вероятности появления шестерки по абсолютной величине меньше чем на 0,01. Решение.Используем неравенство (6) при n=10000,p= , q= .Тогда Пример 3.Вероятность наступления события А в каждом из 1000 независимых опытов равна 0,8.Найдите вероятность того,что число наступлений события А в этих 1000 опытаах отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине меньше чем на 50. Решение.Пусть х- число наступлений события А в указанных 1000 опытах.Тогда M[x]=1000*0,8=800,D[x]=1000*0,8*0,2=160.Теперь неравенство (2) дает: Пример 4.Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4.Оцените вероятность того,что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0,1. Решение:Согласно неравенству (4) при с=1 и иммем: жүктеу/скачать 24,98 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|