Вопрос № Первообразная заданной функции и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла

Вопрос № 38. Понятие криволинейного интеграла второго рода. Вычисление. Физический смысл

жүктеу/скачать 13,56 Mb. бет 18/19 Дата 23.06.2022 өлшемі 13,56 Mb. #147036

Вопрос № 38. Понятие криволинейного интеграла второго рода. Вычисление. Физический смысл. К понятию криволинейного интеграла по координатам нас приводит задача на вычисление работы переменной силы на криволинейном участке пути. Рассмотрим её. Пусть в каждой точке некоторой области D действует сила , переменная по величине и направлению. В этом случае говорят, что в области D задано силовое поле и сила называется вектором напряжённости силового поля. Если сила задана как функция точки, то её проекции (координаты) на оси декартовых координат также будут функциями точки: . Пусть в силовом поле задана непрерывная, гладкая плоская кривая NB (N – начало кривой). Требуется определить работу силы поля при движении материальной точки по кривой NB. Из механики известно, что работа постоянной силы на прямолинейном перемещении вычисляется по формуле . (*) Воспользуемся ею и методом интегральной суммы. 1. Разобьём NB произвольно на n частей и рассмотрим элементарный участок пути . 2. Выберем на произвольно точку и будем считать, что во всех точках действует постоянная по величине и по направлению сила . Построим вектор . Тогда работа на может быть вычислена приближённо по формуле(*) . 3. Работа А силы на всей кривой NB будет равна . 4. Для получения точного значения работы перейдём к пределу при условии, что каждый элементарный участок кривой стягивается в точку при . Окончательно имеем . (**) Предел (**) и называется криволинейным интегралом по координатам (или II рода). По определению = . (7) Интеграл определяется подынтегральным выражением, формой кривой интегрирования l и направлением интегрирования. При изменении направления интегрирования знак интеграла изменяется на противоположный в отличие от криволинейного интеграла по длине дуги (объясняется знаком у проекций). Если кривая l замкнутая, то применяется обозначение . Очевидно, что величина интеграла не зависит от выбора начальной точки, но зависит от направления интегрирования. Условимся считать направление обхода контура против часовой стрелки положительным, по часовой – отрицательным. Интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией. Другие свойства криволинейного интеграла II рода аналогичны свойствам определённого интеграла. Геометрического смысла интеграл (7) не имеет. Физический смысл: работа переменной силы на криволинейном пути, то есть . Теорема. (без доказательства). Если функции непрерывны вдоль гладкой кривой l то криволинейный интеграл (7) существует и сводится к определённому интегралу по формуле = . (8) Под знаком интеграла выражены через . В частном случае, если l задана уравнением , , то = . (9) П р и м е р. Вычислить работу силового поля вдоль параболы , если M(0;0), N(1;1). Р е ш е н и е. = (ед. работы) З а м е ч а н и е. Теорию криволинейных интегралов, рассмотренную на лекции, можно обобщить на случай пространственной кривой l . В кривая l, как правило, задаётся параметрически. В интеграл обозначается . жүктеу/скачать 13,56 Mb. Достарыңызбен бөлісу: