Вопрос № Первообразная заданной функции и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
жүктеу/скачать 13,56 Mb.
|
Mat analiz - FULL
- Бұл бет үшін навигация:
- Вопрос № 36. Приложения тройного интеграла.
- Вопрос № 37. Понятие криволинейного интеграла первого рода. Вычисление. Физический смысл.
| Пример:
Пример: Вопрос № 34. Геометрические и физические приложения двойного интеграла.(1) Из 1 следует - -объем цилиндрического тела ограниченной поверхностью Z и основанием D на плоскости ОХУ – это и есть ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА. Физический смысл двойного интеграла: Вопрос № 35. Понятие тройного интеграла. Геометрический и физический смысл тройного интеграла. Свойства. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах.Геометрический смысл тройного интеграла заключается в том, что если f(x,y,z)=1, то интегральная сумма содержит только объемы ΔVi (i=1,…,n). Но тогда в пределе получаем объем тела V: Физический смысл тройного интеграла - масса тела переменной плотности. Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования и зависит также от выбранной системы координат. Тройные интегралы – это аналог двойного интеграла для функции трёх переменных, заданной как f (M) = f (x, y, z). Вопрос № 36. Приложения тройного интеграла.Объем тела Масса тела Статические моменты Центр тяжести тела Моменты инерции тела Вопрос № 37. Понятие криволинейного интеграла первого рода. Вычисление. Физический смысл.Интеграл называется криволинейным потому, что область интегрирования – кривая линия l (в частном случае – прямая). Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода). К понятию криволинейного интеграла по длине дуги приводит, например, задача о нахождении массы неоднородной, материальной кривой l. Рассмотрим эту задачу. Во избежание громоздкости вычислений ограничимся плоской кривой l. Пусть на плоскости задана непрерывная, неоднородная кривая l, линейная плотность которой , то есть плотность есть величина переменная, зависящая от координат точки M (x, y). Найдём массу кривой l. Будем решать задачу методом интегральной суммы.
тарной дуги вычислим по формуле . 3. Масса всей кривой АВ будет равна . 4. Для получения точного значения массы кривой необходимо перейти к пределу при условии, что , а каждая элементарная дуга стягивается в точку. Тогда . (1) Отвлекаясь от конкретного содержания приведённой задачи, рассмотрим функцию , непрерывную в точках кривой l. ● Предел (1) интегральной суммы, составленной для этой функции при условии, что и , называется криволинейным интегралом от функции по длине дуги АВ и обозначается символом , или , или . Таким образом, , (2) где l – линия (или кривая, или контур) интегрирования, d l – дифференциал дуги, f(M) – подынтегральная функция, непрерывная в каждой точке l. Кривая должна быть гладкой. ●Геометрически кривая называется гладкой, если она непрерывна и в каждой точке кривой можно провести единственную касательную, направление которой изменяется непрерывно при движении точки касания по кривой.
Криволинейный интеграл по длине дуги обладает свойствами определённого интеграла. Остановимся на трёх из них. 1. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл по длине дуги не изменяет своего значения, то есть = . 2. Если разбить кривую АВ точкой С на части l1 и l2, то = + . Данное свойство применяется на практике тогда, когда контур l является кусочно-гладким.
3). Криволинейный интеграл по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки на кривой, то есть
Вычисляется криволинейный интеграл 1-го рода сведением к определённому интегралу. Переменная интегрирования зависит от способа задания кривой l. Рассмотрим все случаи вычисления. 1. Кривая l задана уравнением , точки и − концы кривой. Предварительно рассмотрим вычисление dl. Возьмём на кривой l произвольную точку .
Известно, что длины бесконечно малой дуги и стягивающей её хорды являются эквивалентными бесконечно малыми. Поэтому , . (3) Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определённого интеграла следующим образом: = (4) 2. Пусть кривая l задана параметрически , , = (5) 3. Кривая l задана уравнением в полярных координатах. В этом случае , , = . (6) П р и м е р. Найти заряд, распределённый вдоль полуокружности , если линейная плотность заряда пропорциональна ординате . Р е ш е н и е. (ед.зар.). жүктеу/скачать 13,56 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|