Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

 

 

 

 

 

Высшая математика – просто и доступно! 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Блиц-курс  

«Дифференциальные уравнения»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данный  курс позволяет буквально за день-два научиться решать наиболее  

распространённые типы дифференциальных уравнений. Методичка предназначена для студентов 

заочных отделений, а также для всех читателей, которые недавно  приступили к изучению 

темы и хотят в кратчайшие сроки освоить практику. 

 

Внимание!

 Это демонстрационная версия книги! 

 

 

 

 

 

 

 

Автор: Александр Емелин 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

2 

Оглавление 

 

 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка ....................................................... 3 

1.1. Понятие дифференциального уравнения ............................................................. 3 

1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.................... 4 

1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ........................ 16 

1.4. Линейное неоднородное уравнение первого порядка ....................................... 26 

1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли ........................................................... 34 

1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах ............................. 40 

2. Дифференциальные уравнения высших порядков ................................................... 48 

2.1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка ............... 48 

2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка ....... 55 

2.3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка ..... 61 

2.4. Коротко о линейных уравнениях более высоких порядков ............................. 72 

Решения и ответы ............................................................................................................ 74 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

3 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка 

 

Эти два слова (ДУ) или, как их сокращают – диффуры, обычно приводят в ужас 

среднестатистического обывателя. Более того, дифференциальные уравнения кажутся 

чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам: уууууу… 

дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?! 

 

Но я не буду «кормить» вас этими мифами и запугивать (как в той сказке), а 

наоборот – только развеселю! Потому что на самом деле  

 

Дифференциальные уравнения – это ПРОСТО и очень увлекательно. 

Добро пожаловать в мою сказку! 

 

Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа. 

Простейший пример: 

12

3 

x

. Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найди 

множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко сообразить, что 

детское уравнение 

12

3 

x

 имеет единственный корень 

4



x

. Выполним проверку, 

подставив найденный корень в наше уравнение: 

 

12

4

3





 

12

12 

 – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. 

 

Диффуры устроены примерно так же! 

 

1.1. Понятие дифференциального уравнения 

 

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:  

 

1) независимую переменную  x ; 

2) зависимую переменную 

y

 (функцию); 

3) первую производную функции: 

y

.  

 

В некоторых случаях в уравнении может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но 

это ерунда  – ВАЖНО чтобы в нём была первая производная 

y

, и не было производных 

высших порядков – 

y 

, 

y 



 и т.д. 

 

Как вы правильно догадываетесь, дифференциального уравнение «энного» 

порядка обязательно содержит производную  n -го порядка: 

)

(n

y

 и НЕ содержит 

производные более высоких порядков. 

 

Что значит решить дифференциальное уравнение?

 Решить дифференциальное 

уравнение – это значит, найти множество функций 

C

y

x

F



)

;

(

, где  C  – произвольная 

постоянная, которые удовлетворяют данному уравнению, то есть, корнями 

дифференциального уравнения являются функции. Такое множество функций часто 

называют общим интегралом  дифференциального уравнения. 

 

В ряде случаев решение удаётся представить в «школьном» (явном) виде: 

)

;

(

C

x

f

y 

, и тогда его называют общим решением  дифференциального уравнения. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

4 

1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 

 

Это простейший и самый распространённый тип дифференциального уравнения.  

Все методы и тонкости решений будем разбирать прямо на конкретных примерах: 

Пример 1 

Решить дифференциальное уравнение 

y

y

x





 

 

И вопрос первый: с чего начать? 

 

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. 

Вспоминаем громоздкое обозначение производной: 

dx

dy

y 



. Такое обозначение 

производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах 

рулит именно оно! 

 

Итак, на первой шаге переписываем производную в нужном нам виде: 

y

dx

dy

x





 

 

Далее смотрим, 

а нельзя ли разделить переменные?

 – на это вообще всегда 

нужно посмотреть, когда вам дан ЛЮБОЙ диффур 1-го порядка.  

 

Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно 

собрать все «игреки», а в правой – все «иксы». Разделение переменных выполняется с 

помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в 

часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п. 

 

Дифференциалы 

dy

 и  dx  – это полноправные множители и активные участники 

«боевых действий». В рассматриваемом примере переменные легко разделяются 

перекидыванием множителей по правилу пропорции (Приложение Школьные формулы): 

x

dx

y

dy   

 

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только 

«иксы». 

 

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, 

навешиваем интегралы на обе части: 







x

dx

y

dy

 

 

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные (Приложение 

Таблица интегралов): 

C

x

y



 ln

ln

 

 

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два 

интеграла, но константу  C  достаточно записать один раз (ибо сумма двух констант – 

есть константа). В большинстве случаев её помещают в правую часть. 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

5 

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное 

уравнение считается решенным, и общий интеграл  

C

x

y



 ln

ln

 можно считать 

ответом. Однако многие с этим не согласятся :) 

 

И поэтому нам нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться 

представить функцию в явном виде. 

 

Пожалуйста, запомните 

первый технический приём

, он очень распространен и 

часто применяется в практических заданиях: если в правой части после 

интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно 

записать тоже под логарифмом.  

 

То есть, вместо записи 

C

x

y



 ln

ln

 обычно пишут 

С

x

y

ln

ln

ln





.  

 

Здесь 

С

ln

 – это такая же полноценная константа, как и  C  (поскольку 

С

ln

 с 

таким же успехом принимает все действительные значения, как и  C ). 

 

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем 

школьное свойство логарифмов: 

)

ln(

ln

ln

ab

b

a





. В данном случае: 

Cx

y

ln

ln



 

 

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать: 

Cx

y 

 

 

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение. 

 

Итак, множество функций 

const

C

Cx

y





где

,

 является общим решением 

дифференциального уравнения 

y

y

x





. 

 

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем 

случае это делается совсем просто, берём найденное решение 

Cx

y 

 и находим 

производную (см. Приложение Таблица производных): 

С

Cx

y









)

(

 

 

Теперь подставляем наше решение

Cx

y 

 и найденную производную 

С

y 



 в 

исходное уравнение 

y

y

x





: 

Сx

С

x





 

Сx

Сx 

 – в результате получено верное равенство, значит, решение найдено 

правильно. Иными словами, общее решение 

Cx

y 

 удовлетворяет уравнению 

y

y

x





. 

 

Придавая константе  C  различные значения, можно получить бесконечно много 

частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций 

x

y 

, 

x

y

3





, 

5

x

y 

 и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению 

y

y

x





. 

 

Иногда общее решение так и называют – семейством функций. В данном примере 

общее решение  

const

C

Cx

y





где

,

 – это семейство линейных функций, а точнее, 

семейство прямых пропорциональностей. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

6 

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на 

несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях: 

 

1) В этом примере нам удалось разделить переменные: 

x

dx

y

dy  . Всегда ли это 

можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, 

почти во всех уравнениях следующих параграфов , где нужно использовать различные 

приёмы и методы нахождения решений. Уравнения с разделяющимися переменными, 

которые мы рассматриваем сейчас – это простейший тип дифференциальных уравнений.  

 

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не 

всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое в жизнь не 

проинтегрировать и, кроме того, существуют туча неберущихся  интегралов. Но подобные 

ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. 

 

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла 

С

x

y

ln

ln

ln





. Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, 

выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: 

C

xy

x

y

y









2

arcsin

ln

. Ну 

и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего 

интеграла, при этом хорошим тоном считается представить его в виде 

C

y

x

F



)

;

(

 – с 

одинокой константой в правой части: 

C

y

x

xy

y









ln

arcsin

2

. Однако это вовсе не 

обязательное правило, а, порой, и неуместное действие. 

Кроме того, в ряде случаев общее решение найти можно, но оно записывается 

настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла. 

 

 

Пожалуй, пока достаточно. В первом же уравнении нам встретился ещё один 

очень важный момент, но дабы не накрыть вас лавиной новой информации, торопиться 

не буду. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения: 

Пример 2 

Найти частное решение дифференциального уравнения 

y

y

2







, удовлетворяющее 

начальному условию 

2

)

0

(



y

 

 

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному 

условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.  

 

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не 

должно смущать, главное, в нём есть первая производная. 

 

Переписываем производную в нужном виде: 

y

dx

dy

2





 

 

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – 

направо: 

dx

y

dy

2





 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

7 

Интегрируем уравнение: 









dx

y

dy

2

 

*

2

ln

C

x

y







 

 

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звёздочкой, 

дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу. 

 

Теперь пробуем преобразовать общий интеграл в общее решение (выразить 

функцию  в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: 

b

e

a

b

a







ln

.  

В данном случае: 

 

 

 

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают 

с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней 

(Приложение Школьные формулы), перепишем функцию следующим образом: 

 

 

Если 

*

C

 – это константа, то 

*

C

e

 – тоже некоторая константа, переобозначим её 

буквой  C : 

x

Ce

y

2





 

 

Запомните «снос» константы – это 

второй технический приём

, который часто 

используют в ходе решения дифференциальных уравнений. 

 

Итак, общее решение: 

const

C

Ce

y

x







где

,

2

. Такое вот симпатичное семейство 

экспоненциальных функций. 

 

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее 

заданному начальному условию 

2

)

0

(



y

. Это тоже просто.  

 

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы  C , чтобы 

выполнялось заданное начальное условие 

2

)

0

(



y

. 

 

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее 

решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: 

0

2

2





 Ce

 

0

2

Ce



 

1

2



 C  

то есть, 

2



C

 

 

Стандартная версия оформления: 

2

)

0

(

0

0

2













С

Ce

Ce

y

 

 

Теперь в общее решение 

x

Ce

y

2





 подставляем найденное значение константы 

2



C

: 

x

e

y

2

2





 – это и есть нужное нам частное решение. 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

8 

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа. 

 

Сначала следует проверить, а действительно ли найденное частное решение 

x

e

y

2

2





 удовлетворяет начальному условию 

2

)

0

(



y

? Вместо «икса» подставляем ноль и 

смотрим, что получится: 

2

1

2

2

2

)

0

(

0

0

2















e

e

y

 – да, действительно получена двойка, значит, начальное 

условие выполняется.  

 

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение 

x

e

y

2

2





 и находим 

производную: 

x

x

x

x

e

x

e

e

e

y

2

2

2

2

4

)

2

(

2

)

(

2

)

2

(































 

 

Подставляем 

x

e

y

2

2





 и 

x

e

y

2

4









 в исходное уравнение 

y

y

2







: 

 

x

x

e

e

2

2

2

2

4













 

x

x

e

e

2

2

4

4











 – получено верное равенство.