Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

26 

1.4.  Линейное неоднородное уравнение первого порядка 

 

Если переменные 

разделить

 не удалось, и уравнение 

однородным

 не является, то 

перед нами с ОЧЕНЬ высокой вероятностью линейное неоднородное уравнение 1-го 

порядка. 

 

Данное уравнение имеет следующий вид: 

 

)

(

)

(

x

q

y

x

p

y









,   где 

)

(

),

(

x

q

x

p

 – члены, зависящие только от «икс». 

 

Как вариант: 

 

1) 

)

(x

q

 может быть константой (конкретным числом): 

 

k

y

x

p

y









)

(

; 

 

2) 

)

(x

p

 может быть числом: 

 

)

(x

q

ky

y







, в простейших случаях: 

)

(x

q

y

y







 или 

)

(x

q

y

y







; 

 

3) и иногда рядом с производной красуется «иксовый» множитель: 

 

)

(

)

(

)

(

x

q

y

x

p

y

x

r











 – это тоже линейное неоднородное уравнение (опционально 

)

(x

p

 или 

)

(x

q

 – константа). 

 

Разумеется, в практических примерах члены уравнения могут быть переставлены 

местами, но гораздо чаще они расположены в стандартном порядке: 

Пример 15 

Решить дифференциальное уравнение 

x

e

y

y







 

 

Решение: неразделимость переменных и неоднородность этого уравнения 

совершенно очевидна, и перед нами линейное уравнение вида: 

)

(x

q

y

y







 

 

Как решить линейное неоднородное уравнение 1-го порядка?

 

 

Существуют два способа решения, и сначала я познакомлю вас с наиболее 

распространённым методом Бернулли. Он чёткий, простой и в очередной раз приносит 

нам отличную новость! Линейное дифференциальное уравнение тоже можно решить 

одной-единственной заменой: 

 

)

(

)

(

x

v

x

u

y





, где  u  и  v  – некоторые, пока ещё  неизвестные функции, зависящие 

от «икс».  

 

Коль скоро, у нас произведение 

uv

y 

, то по правилу дифференцирования 

произведения:

v

u

v

u

uv

y















)

(

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

27 

Подставляем 

uv

y 

 и 

v

u

v

u

y











 в уравнение 

x

e

y

y







: 

x

e

uv

v

u

v

u











 

 

Все дальнейшие действия, как вы правильно догадались, будут посвящены 

отысканию функций «у» и «вэ». 

 

После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих 

местах: 

 

 

 

У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае: 

 

 

Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно: 

 

Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: 

0





 v

v

 (первое уравнение) 

 

Если 

0





 v

v

, тогда наш страх  заметно уменьшается: 

x

e

u

v

u









0

  

x

e

v

u





 – это второе уравнение. 

 

Уравнения записываем в систему: 

















x

e

v

u

v

v

0

.  

 

Именно в таком порядке. Система опять же решается стандартно. 

 

Сначала из первого уравнения находим функцию 

)

(x

v

. Это простейшее 

уравнение с разделяющимися переменными

, поэтому его решение я приведу без 

комментариев: 

x

e

v

x

v

dx

v

dv

v

dx

dv

v

v



















ln

0

 

 

Функция  v  найдена. Обратите внимание, что константу  C  на данном этапе мы не 

приписываем.   

 

Далее подставляем найденную функцию 

x

e

v 

 во второе уравнение системы 

x

e

v

u





: 

x

x

e

e

u







 

 

Да это даже не удовольствие – это мечта! 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

28 

Из второго уравнения находим функцию 

)

(x

u

: 

1

1







dx

du

u

 

C

x

dx

u









 

Функция  u  найдена. А вот здесь уже добавляем константу  C . 

 

Опс. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось: 

uv

y 

.  

Обе функции найдены:  

x

e

v 

  

C

x

u





 

 

Записываем общее решение: 

const

C

e

C

x

uv

y

x











где

,

)

(

 

 

В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса: 

 

Ответ: общее решение 

const

C

xe

Ce

y

x

x







где

,

 

 

Проверка выполняется по знакомой технологии, берём  ответ 

x

x

xe

Ce

y





 и 

находим производную: 

x

x

x

x

x

x

x

x

xe

e

Ce

e

x

e

x

e

C

xe

Ce

y



























)

(

)

(

)

(

)

(

 

 

Подставим 

x

x

xe

Ce

y





 и 

x

x

x

xe

e

Ce

y









 в исходное уравнение 

x

e

y

y







: 

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

e

e

e

xe

Ce

xe

e

Ce

e

xe

Ce

xe

e

Ce























)

(

 

 

Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно. 

 

Разбираем «на одном дыхании»: 

Пример 16 

Найти общее решение дифференциального уравнения  

 

Решение: данное уравнение имеет «классический» вид 

)

(

)

(

x

q

y

x

p

y









 

линейного уравнения. Проведем замену: 

v

u

v

u

y

uv

y















 и подставим 

uv

y 

 и 

v

u

v

u

y











 в исходное уравнение 

2

2

x

xe

xy

y









: 

2

2

x

xe

xuv

v

u

v

u













 

 

После подстановки вынесем множитель за скобки,  какие два слагаемых нужно 

мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли: 

 

2

)

2

(

x

xe

xv

v

u

v

u













 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

29 

Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в 

скобках: 

0

2







xv

v

, автоматически получая и второе уравнение системы: 

2

2

0

x

x

xe

v

u

xe

u

v

u

















 

 

В результате: 



















2

0

2

x

xe

v

u

xv

v

 

 

Из первого уравнения найдем функцию  v : 

2

ln

2

2

2

x

v

xdx

v

dv

xdx

v

dv

xv

dx

dv





















 

2

x

e

v





 – без константы! Найденную функцию подставляем во второе уравнение 

системы 

2

x

xe

v

u







: 

2

2

x

x

xe

e

u











 

 

Теперь находим функцию  u . Уравнение опять получилось простенькое: 

x

dx

du 

 

C

x

xdx

u









2

2

 

 

Обе функции найдены:  

2

x

e

v





 

C

x

u





2

2

 

Таким образом, общее решение: 

2

2

2

x

e

C

x

uv

y























 

 

Ответ: общее решение: 

const

C

e

C

x

y

x























где

,

2

2

2

 

 

Без остановки решаем самостоятельно: 

Пример 17 

Найти общее решение дифференциального уравнения 

x

ytgx

y

cos

1







,  выполнить 

проверку. 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

30 

Как видите, алгоритм довольно прост. В чём особенность решения линейных 

неоднородных уравнений 1-го порядка? Особенность состоит в том, практически всегда 

в ответе получается общее решение, в отличие от тех же 

однородных уравнений

, где 

общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде 

общего интеграла.   

 

Рассмотрим что-нибудь с дробями: 

Пример 18 

Найти частное решение дифференциального уравнения 

0

2

2









x

e

x

y

y

, 

удовлетворяющее начальному условию 

e

y



)

1

(

 

 

Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши. 

 

И сразу обратим внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной 

форме. Этого можно не делать, но я все-таки  рекомендую всегда переписывать уравнения 

в привычном виде 

)

(

)

(

x

q

y

x

p

y









: 

2

2

x

e

x

y

y







 

 

Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце 

прибавится один небольшой пунктик. Данное уравнение является линейным 

неоднородным, проведем замену 

v

u

v

u

y

uv

y











 ,

: 

2

2

x

e

x

uv

v

u

v

u











 

и типовой «вынос» за скобки: 

2

2

x

e

x

v

v

u

v

u













 







 

 

Составим и решим систему: 



















2

2

0

x

e

v

u

x

v

v

 

 

Из первого уравнения найдем  v : 

x

v

x

v

x

v

x

dx

v

dv

x

v

dx

dv

1

ln

ln

ln

ln

ln

ln

1























 

x

v

1



 – подставим найденную функцию во второе уравнение 

2

2

x

e

v

u 



 системы: 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

31 

C

e

x

d

e

dx

xe

u

dx

xe

du

e

x

dx

du

x

x

x

x

x



















2

2

2

2

2

)

(

2

2

2

1

2

 

(здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала) 

 

Обе функции найдены, таким образом, общее решение: 

const

C

x

C

e

x

C

e

uv

y

x

x















где

,

1

)

(

2

2

 

 

На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное 

решение, удовлетворяющее начальному условию 

e

y



)

1

(

: 

 

 

 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: