Блиц-курс «Дифференциальные уравнения»

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

21 

x

dx

t

dt





2

 

 

И сейчас произошло второе опасное событие:  t  мы сбросили в знаменатель, 

поэтому нужно проверить, не является ли 

0



t

 решением ДУ. Поскольку 

x

y

t 

, то речь 

идёт о функции 

0



y

 – подставляем её вместе с производной 

0

)

0

(









y

 в исходное 

уравнение 

0

2









y

xy

y

x

, где всё очевидно: 

0

0

0

0







 – получено верное равенство, значит, 

0



y

 – это одно из решений 

ДУ, и мы его рискуем потерять. 

 

Берём это на заметку и продолжаем решение. Интегрируем обе части: 

C

x

t

x

dx

t

dt















ln

2

 

Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену 

x

y

t 

: 

C

x

x

y





 ln

 – константу лучше записать без логарифма, поскольку результат 

мы уже без напоминаний представим в виде 

C

y

x

F



)

;

(

. Хотя, тут можно выразить и 

общее решение 

x

C

x

y

2

ln



, определив таки константу под логарифм. Но зачем лишние 

действия? – условие никак не оговаривает вид ответа.  

 

А теперь вспоминаем о решении 

0



y

. В общий интеграл оно не вошло, и 

поэтому его нужно дополнительно указать в ответе: 

 

Ответ: общий интеграл: 

const

C

C

x

x

y







где

,

ln

, ещё одно решение: 

0



y

 

 

Потеря решения будет серьёзным недочётом

 и основанием для незачёта задачи! 

 

Следует отметить, что если по условию требуется найти только частное 

решение, удовлетворяющее, например, условию 

1

)

1

(



y

, то за «опасными» действиями 

можно особо не следить, быстренько находим общий интеграл 

C

x

x

y



 ln

 и нужное 

решение: 

1

ln

1

0

1

1

ln

1

1





















x

x

y

C

C

C

 – искомый частный интеграл. 

 

Но, тем  не менее, остаётся пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно то 

решение, которое нужно. Или не маленький – зависит от злого гения автора задачника :) 

 

Продолжаем, сейчас будет становиться 

всё жарче

 

и жарче!

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

22 

Пример 13 

Решить дифференциальное уравнение 

0

)

2

(

2

2







dy

x

dx

xy

y

 

 

Это очень интересный пример, прямо целый триллер! Сначала убеждаемся в том, 

что переменные тут 

разделить

 нельзя, после чего проводим проверку на однородность: 





0

)

2

(

0

)

2

(

0

)

2

(

0

)

(

)

2

)

((

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2





























dy

x

dx

xy

y

dy

x

dx

xy

y

dy

x

dx

xy

y

dy

x

dx

y

x

y





















 

0

)

2

2

2







dy

x

dx

xy

y

 – в результате получено исходное ДУ, значит, оно является 

однородным. 

 

Особенность этого уравнения состоит в том, что оно содержит готовые 

дифференциалы, и его можно решить модифицированной заменой: 

tdx

xdt

dy

tx

y









 

 

Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая 

китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения 

выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим все члены 

уравнения на  dx : 

 

0

2

0

)

2

(

2

2

2

2















y

x

xy

y

dx

dx

dy

x

dx

dx

xy

y

 

 

И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Контролируем ситуацию: 

уравнению 

0



dx

 соответствует 

С

x 

 – семейство прямых, параллельных оси  OY . 

Являются ли они решениями нашего ДУ? Подставим в него 

С

x 

 и  

0

)

(



 С

d

dx

: 

0

0

0

)

2

(

2

2

2











dy

C

dy

C

Сy

y

 

 

Данное равенство справедливо, если 

0



С

, то есть, при делении на  dx  мы 

рисковали потерять корень 

0



x

, и мы его потеряли – так как он УЖЕ не 

удовлетворяет полученному уравнению 

0

2

2

2









y

x

xy

y

. 

 

Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение 

0

2

2

2









y

x

xy

y

, то о корне 

0



x

 речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя 

«отловили». Продолжаем решение стандартной заменой 

t

x

t

y

tx

y









 ,

: 

0

)

(

2

)

(

2

2













t

x

t

x

tx

x

tx

 

 

после подстановки упрощаем всё, что можно упростить: 

 

 

 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

23 

Разделяем переменные: 

x

dx

t

t

dt

t

t

dx

dt

x









)

1

(

2

 

 

И вот здесь снова СТОП: при делении на 

)

1

(

t

t



 мы рискуем потерять сразу две 

функции. Так как 

x

y

t 

, то это функции: 

x

y

x

y

t

y

x

y

t























1

0

1

0

0

0

 

Очевидно, что первая функция является решением уравнения 

0

2

2

2









y

x

xy

y

. 

Проверяем вторую – подставляем 

x

y 

 и её производную 

1

)

(









x

y

: 

0

2

0

1

2

2

2

2

2

2

















x

x

x

x

x

x

x

 

0

0   – получено верное равенство, значит, функция 

x

y 

 тоже является 

решением дифференциального уравнения. 

 

И при делении на 

)

1

(

t

t



 мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут 

войти в общий интеграл. Но могут и не войти. 

 

Берём это на заметку и интегрируем обе части: 









x

dx

t

t

dt

)

1

(

 

 

Интеграл левой части можно решить методом выделения полного квадрата, но в 

диффурах удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов.  

 

Разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: 

1

)

1

(

)

1

(

1

1















Bt

t

A

t

t

t

B

t

A

 

1

1

0



















B

A

B

A

 

Таким образом: 

1

1

1

1

1

1

)

1

(

1















t

t

t

t

t

t

 – удобнее так.  

 

Берём интегралы: 

C

x

dt

t

t

ln

ln

1

1

1























 

C

x

t

t

ln

ln

1

ln

ln









 – так как у нас нарисовались одни логарифмы, то 

константу тоже заталкиваем под логарифм. 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

24 

Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить: 

C

t

x

t

C

x

t

t

ln

)

1

(

ln

ln

ln

1

ln











 

Сбрасываем цепи: 

C

t

x

t



 )

1

(

 

И вот только теперь обратная замена 

x

y

t 

: 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение 

0



y

 вошло в общий интеграл при 

значении 

0



C

, а вот 

x

y 

 – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. 

Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном 

решении 

0



x

, которое, к слову, тоже оказалось внизу 

 

Ответ: общий интеграл. Ещё решения: 

x

y

x



 ,

0

 

 

Здесь не так трудно выразить общее решение: 

1

)

1

(

2

2

2

2





























Cx

Cx

y

Cx

y

Cx

Cx

y

Cxy

Cx

Cxy

y

Cx

x

y

y

, хотя 

лично я сторонник общего интеграла (за исключением каких-то совсем простых случаев). 

 

Однако, для проверки оно весьма удобно, найдём производную: 

2

2

2

2

2

2

)

1

(

)

1

(

2

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

(

1













































Cx

С

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

y

  

и подставим 

2

2

2

2

)

1

(

1

2

,

1















Cx

x

C

Cx

Cx

y

Cx

Cx

y

 в левую часть уравнения: 



















































2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

1

(

1

2

1

2

1

2

Cx

x

C

Cx

Cx

x

Cx

Cx

x

Cx

Cx

y

x

xy

y

 

0

)

1

(

1

2

1

2

)

1

(

2

4

2

3

3

2

4

2



















Cx

x

C

Cx

Cx

Cx

Cx

Cx

x

C

 – в результате получена правая часть 

уравнения, что и требовалось проверить. 

 

 

 

 

 

 

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: 

http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/

  

25 

Тренируемся! 

жүктеу/скачать 1,54 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: