Литература
Курош А.Г. Теория групп // М. Наука, 1967г. 648с.
Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.М. Основы теории групп // М.: Наука. 1982г. С. 248.
Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов // Наука. Москва.1978 г. С. 212.
УДК 512.7
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ КВАТЕРНИОННОГО ПЕРЕМЕННОГО
Сеитова А. Г.
Казахский национальный технический университет им. К. И. Сатпаева, г. Алматы
Научный руководитель - Сагиндыков Б.Ж.
В статье методами дифференциальных уравнений получены эффективные формулы для вычисления элементарных функций от кватернионного переменного.
В 1843 году У. Гамильтон ввел понятие кватернионов как обобщение комплексных чисел на четырехмерное пространство и записываются выражениями следующего вида:
(1)
где - произвольные действительные числа, называемые компонентами кватерниона , а - кватернионные единицы.
Кватернионное произведение обозначается знаком и определяется следующими правилами умножения кватернионных единиц:
В качестве примера оперирования кватернионами приведем аналог формулы Эйлера. Рассмотрим экспоненциальную функцию от кватерниона вида:
(2)
где - переменная одного кватернионного переменного.
В силу того, что - действительное число, оно коммутирует по своей базисной единице с остальными единицами, тогда
Допустим, что экспоненциальная функция разложена в следующем виде:
(3)
Беря производную из (3) по получим следующее равенство:
или .
Отсюда из равенства кватернионов следует, что
(4)
Продифференцировав по первое равенство, получим
т.е. (5)
Для уравнения (5) поставим начальные условия, т. е. при =0
Аналогичные уравнения получаются для и ![](data:image/png;base64,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)
при =0, (6)
при =0, (7)
при =0, (8)
Решив уравнения (5), (6), (7) и (8) при соответствующих начальных условиях, имеем:
В свою очередь аналог формулы Эйлера для кватернионов записываются в виде
(9)
Отсюда следует, если кватернион используется в качестве аргумента элементарной функции, он может быть представлен как условное комплексное число с условной мнимой единицей:
где
, .
В этой записи кватернион сохраняет свойства комплексного числа: ![](data:image/png;base64,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)
Используя это свойство мы можем найти элементарные функции от кватернионного переменного. Для этого
заменим кватернион условным комплексным числом
раскрываем элементарную функцию как функции комплексного переменного
после этого переходим к обратной замене
Выпишем для наглядности некоторые элементарные функции кватерниона
Итак, с помощью замены кватернионов условным комплексным числом, мы можем получить аналитические выражения для элементарных функций кватернионов.
Достарыңызбен бөлісу: |