«xxi ғасырдағЫ Ғылым және білім»

119 
При 
x
R

функция
 
V x
имеет максимум при 
x
R

,
2
3
R
y

цилиндр, 
вписанный в конус имеет наибольший объем:
 
2
2
3
3
9
6
4
9
9
R
R
R R
R
R
V R




 

 


Пример 
–
 3
. Газовая смесь состоит из окиси азота и кислорода. Требуется 
найти концентрацию кислорода, при которой содержащаяся в смеси окись азота 
окисляется с максимальной скоростью [2]. 
Решение
. В условиях практической необратимости скорость реакции 
2
2
2
2
NO O
NO


выражается формулой
2
kx y


, 
где 
x
– концентрация 
NO
в любой момент времени, 
y
– концентрация 
2
O
, 
k
– константа скорости реакции, не зависящая от концентрации 
реагирующих компонентов и зависящая только от температуры. 
Концентрация газов будем выражать в объемных процентах. Тогда
100
y
x


, 
исследуемая функция, скорость реакции, имеет вид: 
 


2
100
x
kx
x



или
 


2
3
100
x
k
x
x



. 
Найдем первую производную этой функции
 


2
200
3
x
k
x
x




. 
Решая уравнение 


2
200
3
0
k
x
x


, считая что 
0
k

, находим критические 
точки. 


200 3
0
x
x


,
1
0
x

,
200 3
0
x


,
2
200
66, 7%
3
x


Для того чтобы установить, какое из полученных значений 
x
соответствует максимальной скорости окисления, найдем вторую производную 
функции 
 
x

: 
  

200 6
x
k
x




. 
Подставляя значение 
1
0
x
x
 
, находим, что вторая производная 
 
0
200
0
k




, положительная, т.е. скорость окисления минимальна при 
концентрации окиси азота, равной нулю, что очевидно также из физического 
смысла задачи. 
При 
2
66, 7%
x
x


вторая производная равна

 
 

66, 7
200 6 66, 7
200 400, 2
200, 2
0
k
k
k



 


 

, 
отрицательная, 
т.е. 
скорость окисления имеет максимальное значение. 
Когда 
66, 7%
x

, то 
100
100 66, 7
33,3%
y
x

 


, т.е. максимальная скорость 
окисления азота будет в том случае, если в газовой смеси содержится 
33,3%
кислорода, следовательно, в стехиометрическом соотношении 
1
2
y
x

. Поскольку 
в процессе реакции стехиометрическое соотношение сохраняется, то при 

120 
содержании в исходной смеси 
33,3%
кислорода скорость реакции будет 
максимальной в течение всего процесса. Этот вывод справедлив для 
осуществления реакции окисления при любой температуре, при которой 
реакция является необратимой. Кроме того, полученный результат не зависит 
от константы скорости реакции 
k
. 
При решении практических задач с использованием элементов 
дифференциального исчисления, важную роль играет правильное составление 
исследуемой функции. Считаем, что решение подобного рода задач 
способствует формированию математической грамотности у обучающихся. 
Как видно из выше перечисленного применение производной 
функции весьма многообразно не только при изучении математики, но и 
других дисциплин. Поэтому можно сделать вывод, что тема «Производная 
функции» имеет весьма широкое применение в различных областях других
предметов. 
Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в 
исследовании различных процессов окружающего нас мира, в возможности 
конструирования по реальным событиям математические модели, и тем самым 
решать важные задачи науки и техники. 
Литература 
1.
Шыныбеков А.Н. «Алгебра и начала анализа», учебник для 10 
класса общеобразовательной школы 
2.
Баврин И.И. «Курс высшей математики», Москва, 2004 г. 
3.
Берикханова Г.Е., Қизатолла С. «Дифференциалдық есептеулерді 
геометриялық есептер шығаруда қолдану», международная научно-
практическая конференция Теория функции, функциональный анализ и их 
приложения, Алматы, 9-10 декабрь 2014 год. 
4.
Берикханова Г.Е. «Математикалық анализдің есептік практикумы» І 

жүктеу/скачать 4,46 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: