Задача для возмущенного уравнения четвертого порядка с инволюцией}}}}\\
жүктеу/скачать 23,22 Kb.
|
Тезис
|
\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{cmap} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[english,russian]{babel} \date{}
\begin{document}
\begin{center}% Название доклада {\sc\textbf{{\Large {\ {Обратная задача для возмущенного уравнения четвертого порядка с инволюцией}}}}\\ \medskip % Информация об авторе Иманбетова А., % первый автор Сейлбеков Б.Н. \\ \medskip % Место работы - в формате: Организация, Город, Страна {\normalsize{\sl Южно-Казахстанский университет им.М. Ауэзова, Шымкент, Казахстан\\ % для первого автора % $^ % E-MAIL = адреса электронной почты E-mail: aselek\_enu@mail.ru, % for first author = для первого автора bolat\_3084@mail.ru \end{center} \vspace{0.1cm} Для одномерного возмущенного уравнения четвертого порядка с инволюцией $${{u}_{tt}}\left( x,t \right)+{{u}_{xxxx}}\left( x,t \right)+\alpha \cdot {{u}_{xxxx}}\left( -x,t \right)=f\left( x \right) ~~~~ ~~~~(1)$$ в прямоугольной области $(x,t)\in\Omega=\left\{ -1 $$u\left( x,0 \right)=\varphi \left( x \right), u\left( x,T \right)=\psi \left( x \right), {u}_{t}}\left( x,0 \right)=0, \in \left[ -1,1 \right],$$ и краевым условиям условиям типа Дирехле $$u\left( -1,t \right)=0, \left( 1,t \right)=0, {{u}_{xx}}\left( -1,t \right)=0,{{u}_{xx}}\left( 1,t \right)=0, t\in \left[ 0,T \right],$$ где $-1<\alpha <1,$ $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ заданные достаточно гладкие функции. \\С помощью метода Фурье доказано существование и единственность решения обратной задачи. \textbf{Теорема.} {Пусть $\varphi \left( x \right),\ \psi \left( x \right)\in {{C}^{6}}\left[ -1,1 \right]$, ${{\varphi }^{VI}}\left( x \right),\ {{\psi }^{VI}}\left( x \right)\in {{L}_{2}}\left( -1,1 \right)$, $\cos \sqrt{1+\alpha }{{\left( \pi k-\frac{\pi }{2} \right)}^{2}}T\le {{\delta }_{0}}<1,\,\,\cos \sqrt{1-\alpha }{{\left( \pi k \right)}^{2}}T\le {{\delta }_{1}}<1,$ $\ k\in N$ и $\frac{{{d}^{j}}\varphi \left( \mp 1 \right)}{d{{x}^{j}}}=0,\frac{{{d}^{j}}\psi \left( \mp 1 \right)}{d{{x}^{j}}}=0,j=0,2,4.$ Тогда существует единственное решение обратной задачи, которое можно записать в виде $$u(x,t)=\varphi (x)+\frac{1}{{{\pi }^{6}}}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{1-\cos \sqrt{1+\alpha }{{\left( \pi k-\frac{\pi }{2} \right)}^{2}}t}{1-\cos \sqrt{1+\alpha }{{\left( \pi k-\frac{\pi }{2} \right)}^{2}}T}}\frac{\varphi _{k1}^{\left( 6 \right)}-\psi _{k1}^{\left( 6 \right)}}{{{\left( k-\frac{1}{2} \right)}^{6}}}\cos \left( k-\frac{1}{2} \right)\pi x$$ $$+\frac{1}{{{\pi }^{6}}}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{1-\cos \sqrt{1-\alpha }{{\left( \pi k \right)}^{2}}t}{1-\cos \sqrt{1-\alpha }{{\left( \pi k \right)}^{2}}T}}\frac{\varphi _{k2}^{\left( 6 \right)}-\psi _{k2}^{\left( 6 \right)}}{{{k}^{6}}}\sin \pi kx,$$ и $$f(x)={{\varphi }^{IV}}(x)+\alpha \cdot {{\varphi }^{IV}}(-x)+\frac{1}{{{\pi }^{2}}}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{\varphi _{k1}^{\left( 6 \right)}-\psi _{k1}^{\left( 6 \right)}}{1-\cos \sqrt{1+\alpha }{{\left( \pi k-\frac{\pi }{2} \right)}^{2}}T}}\frac{1+\alpha }{{{\left( k-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}cos\left( k-\frac{1}{2} \right)\pi x$$ $$+\frac{1}{{{\pi }^{2}}}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\frac{\varphi _{k2}^{\left( 6 \right)}-\psi _{k2}^{\left( 6 \right)}}{1-\cos \sqrt{1-\alpha }{{\left( \pi k \right)}^{2}}T}\frac{1-\alpha }{{{k}^{2}}}}\sin \pi kx,$$ где $$\varphi _{k1}^{\left( 6 \right)}=\int\limits_{-1}^{1}{{{\varphi }^{VI}}\left( x \right)\cos \left( k-\frac{1}{2} \right)\pi xdx,\quad \varphi _{k2}^{\left( 6 \right)}=\int\limits_{-1}^{1}{{{\varphi }^{VI}}\left( x \right)\sin \pi kxdx}},$$ $$\psi _{k1}^{\left( 6 \right)}=\int\limits_{-1}^{1}{{{\psi }^{VI}}\left( x \right)\cos \left( k-\frac{1}{2} \right)\pi xdx,\quad \psi _{k2}^{\left( 6 \right)}=\int\limits_{-1}^{1}{{{\psi }^{VI}}\left( x \right)\sin \pi kxdx}}.$$ } Прямые задачи для возмущенного уравнения четвертого порядка с инволюцией были рассмотрены в работе [1]. \medskip\noindent\textbf{Работа выполнена при финансовой поддержке КН МНиВО РК (грант AP13068539).} \medskip\noindent{\sc\textbf{\large Литература}} [1] {Kirane M,, Sarsenbi, AA,} {Solvability of Mixed Problems for a Fourth-Order Equation with Involution and Fractional Derivative, \emph{Fractal and Fractional.}, \textbf{7( 2): 131}:2023 (год).} https://doi.org/10.3390/fractalfract7020131 \end{document} \\\\ жүктеу/скачать 23,22 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|