§ 4. ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ

42
Тікбұрышты 
ACD
 және 
ABC
 үшбұрыштарының бұрыш косинусының 
анықтамасына орай:
=
=
cos
AD
AC
AC
AB
A
.
            
Бұдан 
AD 
·
 AB
 = 
AC
2
 (2).
Тікбұрышты 
BCD
  және 
ABC
  үшбұрыштарынан  бұрыш  косинусының 
анықтамасына орай:
=
=
cos
BD
BC
BC
AB
B
.
                                    
Бұдан
 
BD 
·
 AB
 = 
BC
2
 (3).
Пайда болған (2) және (3) теңдіктерді бір­біріне қосып және 
AD +
 
DB
= 
 
= AB
 екенін ескеріп,
AC
2
 + 
BC
2
 = 
AB 
·
 D
 + 
BD 
·
 AB
 = 
AB 
·
 
(
AD
 + 
BD
)
 
·
 AB
 = 
AB
2
теңдігін түземіз. Теорема дәлелденді.
Тікбұрышты 
ABC
  (
∠
C
 = 90°)  үшбұрышының  қабырғаларын  сәйке­
сінше 
a = BC, b = AC, c = AB
  деп  белгілеп,  Пифагор  формуласын 
туындатамыз:
c
2
 
=
 
a
2
 + 
b
2
.
3. Пифагор теоремасының беттер арқылы дәлелденуі.
Катеттері 
а,  б
  және  гипотенузасы 
с
­ға  тең  тікбұрышты  үшбұрыш 
берілген.  Бұл  үшбұрыш  үшін  Пифагор  теоремасы  орынды  екенін 
дәлелдейміз, яғни:
a
2
 + 
b
2
 
=
 
c
2
екенін көрсетеміз.
Дәлелдеу. 
Қабырғасы  (
а  +  б
)  ­ға  тең  екі  квадрат  жасаймыз.  Оларды 
3­суретте  көрсетілген  әдіспен  тікбұрышты  үшбұрыштарға,  квад рат­
тарға  және  тік  төртбұрыштарға  бөліп  шығамыз.  3­ 
а
  суреттегі  төртбұ­
рыштың  қабырғасы 
с
  болған  квадрат  екенін  көрсетеміз.  Шын  мәнінде 
бұл  төртбұрыш  –  ең  алдымен  ромб,  өйткені  оның  қабырғасы  катеттері
  а
 
және 
б
  болып  табылатын  тікбұрышты  үшбұрыштың  гипотенузасы 
с
­ға 
a
b
b
a
b
a
c
c
c
c
x
1
2
3
S

S

S

S

a
b
a
3
b
a
b
a
b
a
b
a
S

S

S

S

b
2
a
2
ә
http:eduportal.uz

43
тең.  Енді  сызбадағы 
х
  бұрыштың  дұрыс  екенін  көрсетеміз.  Расында 
да 
∠
x
 +
∠
1 + 
∠
3 = 180°, 
∠
3 = 
∠
2  (өйткені  үшбұрыштар  тең)  және 
∠
1 = 
=90° −
∠
2  екенін  ескере  отырып,  табамыз: 
∠
x
 = 90°.  Сондықтан  да  бұл 
төртбұрыштың  бұрыштарының  біреуі  90º­қа  тең  болған  ромб,  яғни 
квадрат  болып  шығады.  Қарастырылып  отырған  екі  үлкен  квадрат 
теңдес,  яғни  олардың  сыртқы  беттері  тең.  Сондай­ақ  бірінші  квадраттың 
беті 
4
S
Δ
 
 
+
 c
2
­қа,  ал  екінші  квадраттың  беті  4
S
Δ
 
+ 
a
2 
+
 b
2
­қа  тең  (3­
б
  сурет).  
Сондықтан  4
S
Δ
 
 
+
 c
2
  = 4
S
Δ
+
  a
2
 +
 b
2
.
Демек, 
c
2  
= 
a
2
 + 
b
2
. Теорема дәлелденді.  
Есеп.
 
4­суреттегі белгісіз кесінділердің ұзындықтарын табыңдар.
Шешуі. 
1)
 
ABC
   –  тік  бұрышты, 
∠
B
 = 90°
  (4­сурет).  Пифагор  теоре­
масына орай: 
x 
2
 = 5
2
 + 3
2
,  бұдан  
2
34
34
x
x
=
⇒ =
 (
x
 > 0).
 
2) 
ACD
 –  тік  бұрышты, 
CAD
 = 90°  (4­сурет).  Пифагор  теоремасына 
орай,
(
)
2
2
2
34
7
y
+
=
,   одан     
y
2
 + 34 
=
 49, 
y
2
 =
 15,
15
y
=
 
(
y
 > 0).
Жауабы:
   
=
34
x
 cм;
=
15
y
 cм.
?
B
A
A
D
C
D
C
B
5 cм
x
 cм
y
 cм
7 cм
3 cм
y
 cм
1 cм
x
 cм
1 cм
4
5
Сұрақтар,­есептер­мен­тапсырмалар
­
 1. 
1) Пифагор теоремасының қандай дәлелдеулерін білесің?
 
2)
 
“Гипотенузаның  квадраты”,  “катеттің  квадраты”  деген  тіркестерді 
қалай түсінесің?
 2.
  Тік  бұрышты  үшбұрыштардың   
а
    және   
б
    катеттері  берілген.  Егер: 
1) 
a
 = 5, 
b
 = 12;  2) 
2
4
=
a
, 
b
 = 7;  3) 
a
 = 0,7, 
b
 = 2,4;  4) 
a
 = 5, 
b
 = 6;  
 
5)
=
5
13
a
,
12
13
b
=
 болса,  с  гипотенузасын  табыңдар. 
 3. 
Ромбтың диагональдары:
  
1) 12 см және 16 см; 2) 14 см және 48 см. 
Ромбтың периметрін табыңдар.
 4.
  Белгісіз кесінділердің ұзындықтарын табыңдар (5­сурет).
 5. 
Тікбұрышты үшбұрышта 
а
  мен 
б
  – катеттер,  
с
  –  гипотенуза. Егер:  
   1) 
a
 = 1,2, 
c
 = 1,3; 2) 
a
 = 7, 
c
 = 9; 3) 
a
 = 1,5, 
c
 = 1,7; 4) 
a
 = 2, 
c
 = 2,5 болса,  
б  
катеті қандай болатынын табыңдар.
 6.
  Тік төртбұрыштың қабырғалары: 1)  2,4 дм және 7 см;  2)  50 см  және 
12 дм;   3)  8 дм  және 1,5 м.  Оның диагоналін табыңдар.
http:eduportal.uz

44
Теорема.
1. Пифагор теоремасының кейбір салдарлары. 
Пифагор теоремасының салдарлары iшiнен біреуiн қарастырайық.
Салдар.
 
Тiк бұрышты үшбұрыштың кез келген катетi гипотенузадан 
кiшi болады.
Дәлелдеу. 
ABC 
 – тiк бұрышты, онда 
∠
C
 = 90
° 
болсын (1­ сурет).
Тiк  бұрышты  үшбұрыштың  кез  келген 
катетi гипотенузадан кiшi болаты нын дәлел­
дейiк. 
Шынында да,  Пифагор теоремасы бойын­
ша катеттер үшiн:
AC
2
 = 
AB
2
 − 
BC
2
 we 
BC
2
 = 
AB
2
 − 
AC
2
өрнектерi  орынды.  Бұдан 
AC
2
 < 
AB
2
  және  
BC
2
 < 
AB
2 
 
келiп  шығады.  Демек,
 AC < AB
 
және 
BC < AB
. Салдар дәлелденді.
2. Пифагор теоремасына керi теорема.
 
Егер үшбұрыштың қабырғаларының бiреуiнiң квадраты оның 
басқа екi қабырғасы квадраттарының қосындысына тең болса, онда 
үшбұрыш тiк бұрышты болады.
Дәлелдеу. 
ABC
 
үшбұрышта 
AB 
2
 = 
AC 
2
 + 
BC 
2
 болсын. 
∠
C
 = 90° бола тынын 
дәлелдейiк (2­ сурет).
C
1
  бұрышы  тiк  болған  тiк  бұ рышты 
A
1
B
1
C
1
  үшбұрышын  қарас ты ра йық,  онда 
A
1
C
1
 = 
AC
 мен 
B
1
C
1
 = 
BC
. Пифагор  теоремасы 
бойынша  
A
1
 =     =
A
1
+ + 
B
1
. Демек, 
A
1
 = 
AC 
2
 + 
BC 
2
.
Бiрақ  теореманың  шарты  бойынша 
AB 
2
  = 
AC 
2
 + 
BC 
2
,  демек, 
A
1
 = 
AB 
2
.  Бұдан 
табамыз: 
A
1
B
1
 = 
AB
. Сонымен, 
ABC
 және 
A
1
B
1
C
1
 
үшбұрыштар  үш  қабырғасы  бойынша  тең. 
Сондықтан 
∠
C
 = 
∠
C
1
, яғни 
ABC
 үшбұрыштың 
C
 
төбесiндегi бұрышы тiк бұрыш болатыны 
келiп шығады. 
Теорема дәлелдендi.
18. ПИФАГОР ТЕОРЕМАСЫНА КЕРІ ТЕОРЕМА
A
1
C
1
B
1
A
C
B
2
A
C
B
1
http:eduportal.uz

45
1­есеп.
 
Егер  үшбұрыштың  қабырғалары:  1) 
a
 = 5, 
b
 = 11, 
c
 = 12; 
 
2)
85
a
=
, 
b
 = 7, 
c
 = 6 
болса,  ол тiк бұрышты үшбұрыш бола ма?
Шешуі.
  1)  Екi  кiшi  қабырғасы  квадраттарының  қосындысын 
есептеймiз: 
5
2
 + 11
2
 = 25 + 121 = 146. 
Ендi үлкен қабырғасының квадратын есептеймiз:
 12
2
 = 144.
Алынған нәтижелердi салыстырсақ,  
а
2
 + 
b
2
 ≠
 с
2
 қатынасы келiп шығады.  
Демек, берiлген үшбұрыш тiк бұрышты емес екен.
Жауабы:­
1)
 
а 
= 5; 
b 
= 11,  және 
с
 = 12 болғанда,  үшбұрыш тiк бұрышты 
болмайды.
2) Екi кiшi қабырғасы квадраттарының қо  сын дысын есептеймiз:  
 7
2
 + 6
2
 = 49 + 36 = 85. 
Содан соң үлкен қабырғасының квад ратын есептеймiз: 
(
)
=
2
85
85
.
Демек,  85  =  85  – 
орынды. 
Соның  нәтижесiнде   
b
2
+с
2
=а
2
 
­қа  ие 
боламыз. Бұдан үшбұрыштың тiк бұрышты екендiгi келiп шығады.
 
Жауабы:
 
85
a
=
, 
b
 =7  және 
с
 = 6 болғанда, үшбұрыш тiк бұрышты 
болады
.
3. Перпендикуляр және көлбеу. 
l – 
түзуі және онда жатпайтын
 А 
нүктесі берілген делік. Анықтамасына 
орай,
  А 
­дан
 l 
 түзуіне дейінгі ең қысқа қашықтық
  А -
дан  
l
 ­ге түсірілген
  
АС 
перпендикулярының  ұзындығына тең болады (3­сурет).
Расында  да    әрбір   
B
 
∈
 
l
  үшін   
АСВ
    үшбұ рышы  –  тікбұрышты, 
бұнда   
АС
  мен 
СВ
  –  катеттер,  ал 
АВ
  гипотенуза  болады. 
СВ
  кесіндісі 
АВ 
көлбеуінің 
l 
түзуіндегі 
проекциясы
  деп 
аталады.
Пифагор теоремасы 
АВ
 – көлбеудің,  
АС
 – 
перпендикулярдың  және 
СВ
  –  проекцияның 
ұзын  дықтарын төмендегі теңдікпен өрнектейді:
                          
AB
2
 = 
AC
2
 + 
CB
2
.
Сондықтан 
әрқашан
 
АВ > АС
 немесе 
АВ > 
ВС
  болады.  Былайша  айтқанда,  бір  нүкте 
ар-
қы лы жүргізілген перпендикуляр мен көлбеудің 
проекциясы көлбеуден кіші болады.
Сондай­ақ 
тең көлбеулердің проекциялары да тең болады;  екі көлбеу-
дің қайсысының проекциясы үлкен болса, сол көлбеу үлкен болады.

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: