Сынақта пайда болу жиілігі
жүктеу/скачать 114,05 Kb.
|
улкен санд заны-улест моменти
| Ықтималдық теориясының математикалық заңдары жаппай кездейсоқ құбылыстарға тән статистикалық заңдылықтардың абстракциясы болып табылады. Егер кездейсоқ шама жалпы сипатталған болса, онда оның сипаттамалары орнықты болады және кездейсоқ болмайды. Мысалы, кездейсоқ оқиғаның n сынақта пайда болу жиілігі n ұлғайғанда орнықты болады және тұрақты шамаға – ықтималдыққа ұмтылады; кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы математикалық үмітке жуықталады және т.с.с. Шектік теоремалардың екі түрі қарастырылады: 1) үлкен сандар заңы; 2) орталық шектік теорема.
Үлкен сандар заңы Үлкен сандар заңы теоремалары кездейсоқ шамалардың жеткілікті үлкен саны қоса алғанда кездейсоқ қасиетін жоғалтып, заңдылыққа айналу шарттарын қарастырады. Осындай теоремаларға Чебышев және Бернулли теоремалары жатады (басқалары да бар, біз оларды қарастырмаймыз). Алдымен теориялық маңызы зор Чебышев теңсіздігін қарастырамыз. Теорема. Кездейсоқ шаманың оның математикалық үмітінен ауытқуының абсолют шамасы бойынша оң  санынан кем болмау ықтималдығы жоғарыдан  шамасымен шектелген, яғни 
немесе, егер қарама қарсы оқиғаға көшсек,  .
Чебышев теңсіздігінің бұл екі формасы оқиғаның ықтималдығының сәйкес жоғарғы және төменгі шекараларын көрсетеді. Айта кетелік, бұл жерде және де ықтималдық теориясының басқа теоремаларында «ықтималдық бойынша жинақты» ұғымы қолданылады: егер кез келген  үшін  оқиғасының ықтималдығы  кезде бірге ұмтылса, яғни  , онда  кездейсоқ шамалары ықтималдық бойынша А шамасына жинақты. Оны былай жазуға болады  . Математикалық талдаудағы жинақтылық пен айырмашылығы, ықтималдық бойынша жинақтылық теңсіздігі тізбегінің көпшілік мүшелері үшін орындалуын талап етеді, математикалық талдауда бұл теңсіздік тізбектің N номерден бастап (яғни  ) барлық мүшелері үшін орындалуы керек.
Чебышев теоремасы. Егер қос қостан тәуелсіз кездейсоқ шамалар болса және олардың дисперсиялары шектеулі болса (яғни С саны табылып,  орындалса), онда n өскенде осы кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы ықтималдық бойынша олардың математикалық үміттерінің арифметикалық ортасына жинақты, яғни кез келген үшін  . Егер  , онда Чебышев теоремасының дербес жағдайын аламыз  .
Чебышев теоремасының мағынасы: егер жеке тәуелсіз кездейсоқ шамалар өздерінің математикалық үміттерінен алыс мәндер қабылдай алса, онда ықтималдықтары үлкен жеткілікті үлкен санды кездейсоқ шамалардың арифметикалық ортасы белгілі санға жуық мәнді қабылдайды (атап айтқанда
жүктеу/скачать 114,05 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
). Чебышев теоремасының практикада маңызы зор. Оған статистикада жиі қолданылатын таңдама әдісі негізделген. Ол әдіс бойынша азғана кездейсоқ таңдама негізінде барлық объектілер жиынтығы туралы қорытынды жасалады (азғана үлгі негізінде бидай сапасы туралы). Әрине, бұл әдісті теорема шарттары орындалғанда ғана қолдана аламыз.