1. ҚАтелер теориясы
Теңдеу түбірлерін хорда әдісімен есептеу
жүктеу/скачать 1,78 Mb.
|
ЧМ теория
| 2.3 Теңдеу түбірлерін хорда әдісімен есептеу
f(аf(b) < 0 шарты орындалатын, [a, b] кесіндіде f(x) = 0 теңдеуінің түбірін бұрынғыдан да тез табудың жолын қарастырайық. Анықтық үшін f(a)<0 және f(b)>0 болсын. Онда [a, b] кесіндісін екіге бөлгеннен гөрі оны f(a):f(b) қатынасындай бөлген орынды. Ол бізге түбірдің жуық мәнін береді: x1 =a + h (1), мұндағы
. (2.2) Әрі қарай осы әдісті f(x) ақырлы нүктелерінде әр түрлі таңбалы мәндер қабылдайтын [a, x1] немесе [x1, b] кесінділеріне қолданып түбірдің екінші жуықтауын -ні аламыз 3- сурет және т.б. Бұл әдістің геометриялық мағынасы: y =f(x) қисығын, A[a, f(a)] және B[b, f(b)] нүктелері арқылы өтетін хордамен ауыстыру деген сөз. АВ хордасының теңдеуі: ; Бұдан x = x1 және y=0 деп алып, (2.3) шығарып аламыз. (2.3) формуласы (2.1) және (2.2) формуласымен пара-пар. Бұл үрдістің жинақтылығын көрсету үшін түбір айырылған, ал функцияның екінші туындысы [a, b] кесіндісінде тұрақты таңбасын сақтайды деп есептейік. Анықтық үшін аралығында болсын. Онда y =f(x) қисығы төмен қарай дөңес болады, сондықтан өзінің АВ хордасынан төмен орналасады. Бұл кезде мынадай екі жағдай болуы мүмкін: 1. f(a)>0 4 сурет; 2. f(a)<0 5 сурет. 3-сурет 4-сурет 5-сурет 1) Бірінші жағдайда a нүктесі қозғалмайды, ал біртіндеп жуықтаулар
шектелген монотонды азаятын тізбегін құрады. 2) Екінші жағдайда b нүктесі қозғалмайды, ал біртіндеп жуықтаулар . (2.5) шектелген монотонды өсетін тізбек құрады. Бұдан келесі қорытынды шығаруға болады: функцияның таңбасы, оның екінші ретті туындысының таңбасымен дәл келетін шеті қозғалмайды. біртіндеп жуықтаулары түбірінің f(x) функциясының таңбасы, оның екінші ретті туындысының таңбасына қарама-қарсы болатын шетінде жатады. Екі жағдайда да әрбір келесі жуықтауы түбіріне алдыңғы -ге қарағанда жақын болады. Айталық болсын делік. Бұл шек бар, себебі {} тізбегі шектелген және монотонды (2.4) теңдігінде шекке көшіп, бірінші жағдай үшін мәнін аламыз, бұдан . Жорамал бойынша (a, b) аралығында f(x)=0 теңдеуінің жалғыз түбірі болғандықтан = болады, дәлелдеу керегі де осы. Тура осылай (2.5) теңдікте шекке көшіп екінші жағдай үшін де = екені дәлелденеді. Жуықтаудың дәлдігін бағалау үшін формуласын қолдануға болады, мұнда . Енді егер екі қатар жуықтау белгілі болса және , онда жуықтау мәнінің абсолюттік қатесін бағалауға болатын тағы бір формула келтірейік. Барлық жуықтауларды кіргізетін [a, b] кесіндісінде f'(x) туындысы үзіліссіз болсын және тұрақты таңбасын сақтасын. Әрі қарай 0 Анықтық үшін дәл түбірінің, біртіндеп жуықталған мәндері (2.4) формуламен есептелсін. Мұнда кесіндінің a шеті қозғалмайды, бұдан f()=0 екенін ескеріп, аламыз. Функцияның ақырлы өсімшесі туралы Лагранж теоремасын қолданып
мұндағы және . Сондықтан (2.7) формуланы былай жазамыз: (2.8) f'(x), [a, b] кесіндісінде таңбасын сақтайтын, әрі және болғандықтан, онда алатынымыз айқын. Сондықтан (2.8) формуланы ескере отырып, былай жазуға болады: (2.9) Мұндағы M1 және m1 ретінде [a, b] кесіндісіндегі f'(x) туындысының модулінің сәйкес ең кіші және ең үлкен мәні алынады. Егер [a, b] кесіндісі өте кіші болса, онда M1 2m1 теңсіздігі орын алады, онда (2.9) формуласын түрінде аламыз. Сонымен бұл жерде болса, онда , мұнда – берілген шектік абсолют қате. жүктеу/скачать 1,78 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|