1. ҚАтелер теориясы
Ньютон әдісі (жанамалар әдісі)
жүктеу/скачать 1,78 Mb.
|
ЧМ теория
| Ньютон әдісі (жанамалар әдісі)
[a,b] кесіндісінде f(x)=0 (2.1) теңдеуінің түбірі оқшауланған және болғанда f’(x) және f”(x) үзіліссіз және тұрақты таңбаларын сақтасын. Түбірдің қайсыбір n - ші жуықтауын тауып, оны Ньютон әдісімен дәлдеуге болады. -ді аз шама деп есептеп (2.10) деп жазайық. Бұдан, Тейлор формуласын қолданып аламыз.
Олай болса, . Осы түзетуді (2) формулаға енгізіп, түбірдің келесі жуықтауын табамыз. (2.11) Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы, y=f(x) қисығының үлкен емес доғасын, қисыққа қайсыбір нүктеде жүргізген жанамамен ауыстырғанмен пара-пар. Анықтық үшін, a 6-сурет 7-сурет 8-сурет Мысалы, f(x0) f”( x0)>0 шарты орындалатын, x0 =b нүктесін таңдап алайық. y=f(x) қисығына B0(x0,f(x0)) нүктесінде жанама жүргіземіз. түбірінің x1 – бірінші жуықтауы ретінде осы жанаманың ОХ осімен қиылысу нүктесінің абсциссасын аламыз. B1(x1,f(x1)) нүктесі арқылы тағы да жанама жүргізіп, оның қиылысу нүктесінің абсциссасы түбірдің x2 – екінші жуықтауын беретінін көреміз т.с.с. Bn(xn,f(xn)) n =0, 1, …. нүктесіндегі жанаманың теңдеуі y – f(xn)=f'(xn)(x-xn) болады. у=0, x=xn+1 деп болжап, (2.12) формуланы аламыз. (2.12) Егер біздің жағдайымызда x0=a десек және f(x0)·f"(x0)<0 болса, онда y=f(x) қисығына A(x0,f(x0)) нүктесінде жанама жүргізіп [a, b] кесіндісінің сыртында жатқан нүктені аламыз, яғни бұл жағдайда Ньютон әдісінің бастапқы мәні, түбір жатқан облыстан тыс жатады (7,8-суреттер). Сондықтан бастапқы жуықтау ретінде f(x0)·f"(x0)>0 (2.13) теңсіздігі орындалатын жуықтауды алу қажет. Осы ереже жалпылама болатынын келесі теоремамен көрсетейік. Теорема. Егер f(a)·f(b)<0 болса, f'(x), f"(x) нольден өзгеше және a Жалпы бұл әдіс f(x)=0 теңдеуінің түбіріне жинақталатын итерациялық тізбегін құруда болып табылады және f(x)=0 теңдеуінің шешімінің «жақсы» бастапқы жуықтауы белгілі болса, онда осы жанама (Ньютон) әдісі жоғары дәлдікке жетудегі тиімді әдіс болып табылады. Сонымен қатар, функция графигінің түбір маңайында үлкен иірімі бар болса, бұл әдіс тиімді. xn - n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін жалпы мына формуланы қолдануға болады. (2.14) –тің [a, b] кесіндісіндегі ең кіші мәні. Түбірдің n-ші жуықтауының қателігін бағалау үшін мына төмендегі формуланы да қолдануға болады. (2.15) мұндағы M-[a,b] кесіндісіндегі –тің ең үлкен мәні, m-[a,b] кесіндісіндегі –тің ең кіші мәні. Сонымен, егер , онда . Соңғы қатынас: түбірдің «жақсы» бастапқы жуықтауында әрбір итерациядан соң келесі жуықтауда дұрыс оңдық таңбалар саны екі еселенеді, яғни процесс тез жинақталатынын білдіреді. Егер шарты орындалса, итерациялық үрдісті тоқтатамыз. Ал түбірінің жуықтау мәні ретінде xn – шамасын ( дәлдікпен есептелінген) аламыз. жүктеу/скачать 1,78 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|