- сандар теориясы (Гаусс,Чебышев, Дирихле, т.б)

1. Әлемдік математикалық қауымдастық және оның қызметі.

2. XX ғасыр математикасындағы ғылыми жетістіктер.

3. Кейбір математикалық проблемалар және олардың шешілуі.

1. XX ғасырда математика ғылымы экспоненциалдық қарқынмен даму жолына түсті. XIX ғасыр соңында екі математикалық конгресс (1897 ж. Цюрих; 1900 жылы Париж) өткізілді. Онда әлемдегі аса ірі математик Д.Гильберт баяндама жасап, XX ғасыр математикасының даму перспективасын анықтайтын 23 негізгі математикалық проблеманың тізімін ұсынды. Қазіргі күні тізімдегі проблемалардың оны толығымен, жетеуі жартылай шешілді, ал екеуі әлі де болса шешілген жоқ. Қалған төрт проблема тым жалпы тұжырымдалғандықтан, олардың шешілуі туралы сөз қозғаудың мағынасы жоқ деп айтуға болады.

Математикалық конгресстер I дүниежүзілік соғысқа дейін әрбір төрт жыл сайын өткізіліп тұрды, бірақ 1914 ж. тұтанған соғыс оның жүйелі түрде өткізілуіне кедергі жасады. 1919 ж. Халықаралық математикалық одақ құрылды, 1920 ж. Страсбург қаласында кезекті конгресс өткізілді.Одан кейін 1924 ж. Канаданың Торонто қаласында өтті. Келесілері мынадай ретпен өтті: 1928 ж. (Болонья), 1932 ж. (Цюрих),1936 ж. (Осло). Мұнан кейінгі конгресс II дүниежүзілік соғыстың тұтануына байланысты 1950 ж. АҚШ-тың Гарвард қаласында өткізілді. Осыдан кейін математикалық конгресстер тұрақты түрде әрбір 4 жыл сайын ұйымдастырылып, өткізіліп келеді. Оларда жетекші ғалымдар қазіргі заманғы математиканың аса маңызды бағыттары бойынша бағдарламалар, соңғы жылдардағы алынған нәтижелер туралы хабарламалар жасап келеді. Сонымен қатар оларда әлемдік математикалық қауымдастықты қызықтыратын мәселелер мен жобалар талқыланып келеді. Конгресстерде математикалық сыйлықтар, олардың ішіндегі ең жоғарғысы Дж.Филдс сыйлығы мен медалі табысталады.

2. XX ғасыр математикасындағы ғылыми жетістіктерді атап көрсету үшін қазіргі заманғы математикалық конгресстерге енгізілген секциялардың атауларын тізіп көрсету жеткілікті. Олар мыналар: математикалық логика және математиканы негіздеу мәселелері; алгебра; сандар теориясы; геометрия; топология; алгебралық геометрия; комплекстік анализ; Ли группалары; нақты және функционалдық анализ; ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистика; қарапайым дифференциалдық теңдеулер, дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер; математикалық физика; сандық әдістер және есептеулер теориясы; дискретті математика және комбинаторика; информатиканың математикалық мәселелері; математиканың физикалық емес ғылымдарда қолданылуы; математика тарихы; математиканы оқыту мәселелері. Сонымен қатар бұл тізімге математиканың XX ғасырда пайда болып, қалыптаса бастаған кибернетика, ақпараттар теориясы, алгоритмдер теориясы, компьютерлік модельдеу теориясы, оптимизация теориясы және кездейсоқ процесстер теориясы.

Математиканың осы сияқты салаларын дамытуға айтарлықтай үлес қосқан XX ғасырдың аса көрнекті математиктері мыналар: Жак Адамар (сандар теориясы); П.С.Александров(топология); С.Банах(функционалдық анализ,жиындар теориясы); Ян Брауэр(анализ,топология,жиындар теориясы, математика философиясы); Г.Вейль (алгебра,анализ,сандар теориясы, математикалық логика,математикалық физика,т.б.); Н.Винер (кибернетика); И.М.Гельфанд (функционалдық анализ,топология,алгебра,Ли группалары, математикалық физика,т.б.); А.Гротендик (алгебралық геометрия); Ж.Дьёдонне (функционалдық анализ,Ли группалары,топология,алгебралық геометрия); А.Картан (анализ,топология); Дж. фон Нейман (математикалық логика және компьютерлер теориясы,математикалық физика,жиындар теориясы,информатика,ойындар теориясы,т.б.); А.Тарский (математикалық логика); А.Уайтхед (математикалық логика); Ф.Хаусдорф (топология,жиындар теориясы,функционалдық анализ,сандар теориясы); А. Я.Хинчин (ықтималдықтар теориясы); А.Чёрч (информатика,математикалық логика); К.Шеннон (информатика,кибернетика); Э.Цермело (математикалық логика, жиындар теориясы).

Математикалық логика мен математиканың негіздемесі. XIX ғасырдың cоңында Кантордың жиындар теориясында қарама-қайшылықтардың(антиномиялардың) орын алатындығының анықталуына байланысты математиканы аксиоматикалық негізде құру бағытында жаңа ғылыми ізденістер жасалды. 1915-20 жж. Лёвенгейм мен Скулемнің зерттеулерінде ешқандай аксиоматикалық жүйенің категориялы болуының мүмкін еместігі анықталды. Басқаша айтқанда, аксиомалар жүйесі қалай тиянақты тұжырымдалғанымен, барлық уақытта осы жүйені құру мақсатындағы интерпретацияға мүлде ұқсамайтын интерпретация табылады. Бұл жағдай әрине, аксиоматикалық жүйенің әмбебаптығына деген сенімділіктің төмендеуіне себеп болды. Оның үстіне формальдық аксиоматика математиканың салалары сүйенетін іргелі принциптерді айқындау үшін қажетті болып танылды. Сонымен бірге аксиоматикаландыру математиканың әртүрлі бөлімдерінің арасындағы байқала бермейтін байланыстарды айқындауға көмектеседі. 1931 ж. К.Гёдель математикалық логиканың шектеулілігі тағайындалған толымсыздық туралы екі теореманы ұсынды. Бұл Д.Гильберттің математика негіздемесінің толық және қайшылықсыз жүйесін жасау туралы өз ойларын аяқтауына мүмкіндік туғызды.

Алгоритмдер теориясында елеулі нәтижелер алынды. Теореманың дұрыс, бірақ алгоритмдік тұрғыда қол жетімсіз болатындығы дәлелденді (Чёрч,1936). 1933 ж. А.Колмогоров ықтималдықтар теориясының қазіргі күнгі жалпылама қабылданған аксиоматикасын жасады. Сонымен қатар басқа да аксиоматикалық теориялар дами бастады. 1963 жылы Пол Коэн Кантордың континуум-гипотезасын жиындар теориясының кәдімгі аксиоматикасында дәлелдеудің мүмкін еместігін дәлелдеді.

XX ғ. 30-жылдарының соңына қарай басылымдарда «Никола Бурбаки» деген бүркеншік есіммен көрінген француз математиктерінің тобы бүкіл математиканы аксиоматикалық негізде құруға әрекет жасады. Бурбаки бойынша, математиканың іргетасы ретінде жиындар теориясы алынды. Содан кейін оның I қабаты тұрғызылды: реттелген структуралар, алгебра, жалпы топология және өлшемдер теориясы. Соңында математиканың II қабатын тұрғызу қолға алынуы тиіс еді, онда I қабаттың құраушылары болып табылатын алгебралық, геометриялық және т.б. структуралар біріктірілуі керек болатын. Алайда, бұл мәселе аяқсыз қалды.

Алгебра және сандар теориясы. Алгебраның дамуында жоғарғы нәтижелерге қол жеткізілді. Ғасыр басында Э.Нетер мен Ван-дер-Варден математиканы алгебраландыру мәселесін қолға алып, жалпы алгебраның негіздерін жасады (қазіргі күні оның структуралары (группалар, өрістер, сақиналар, сызықтық кеңістіктер,т.б.) бүкіл математикада кездеседі). Осыдан кейін группалар теориясы физика мен кристаллографияға ене бастады. Ғасыр басындағы маңызды жаңалықтың тағы бірі -радикалық сандар теориясының пайда болуы мен дамуы болып табылады.

XX ғасырдың 10-ыншы жылдары үнді математигі Рамануджан 3 000-нан астам теореманы тұжырымдады, олардың арасында санның бөлшектену функциясының қасиеттері мен асимптотикалық бағаларына қатысты теоремалар да бар еді. Ол сондай-ақ гамма-функцияларды, модулярлық формаларды, жинақсыз қатарларды, гипергеометриялық қатарларды және жай сандар теориясын зерттеуде маңызды нәтижелерге қол жеткізді. 1995 жылы Эндрю Уайлс Ферма теоремасын дәлелдеп, көпғасырлық проблеманы шешуді жүзеге асырды.

Математикалық анализ бен математикалық физика. XX ғасыр басында функциялар теориясы дами бастады. Ол шын мәнісінде, өлшемдер теориясы саласындағы табыстардан бастау алады (Борель, Лебег, т.б). Осының негізінде функциялар теориясында функциялардың метрикалық теориясы деп аталатын жаңа бағыт пайда болды. Борель мен Лебег өлшемдердің жордандық теориясын жалпылауды жүзеге асырды. Осының негізінде Лебег интегралдары жасалды. XX ғасырда функциялар теориясында орыс математика мектебі үлкен табыстарға қол жеткізді.(Лузин, П.С. Александров, Бари, Колмогоров, Меньшов, Суслин, Хинчин, т.б).

Гильберттің математикалық мектебінде функционалдық анализ пайда болды және ол кванттық физикада қолданыла бастады. Жалпы алғанда, функционалдық анализдің дамуында екі бағыт орын алды: 1) Сызықтық функционалдық анализ (И.Фредгольм, т.б); 2) Квадраттық формалар теориясы (Д.Гильберт, т.б.).XX ғасырдың 60-ыншы жылдары А.Робинсон математикалық анализді өзекті шектеусіз аз шамалар тұрғысынан негіздеуді жүзеге асырып, стандартты емес анализді баяндаумен байланысты жұмыстарын жариялады.

Топология жақсы қарқынмен дамып, математиканың әралуан салаларында қолданыла бастады. Әсіресе, Б.Мандельброт ашқан фракталдар ғалымдардың жаппай қызығушылығын тудырды. Негізінен алғанда, топология мынадай бағыттарда дамыды: 1) Комбинаторикалық топология(Пуанкаре, т.б); 2) Жалпы немесе теориялық-жиындық топология(Г.Кантор, т.б.).Геометрия мен топология саласындағы бұл теориялар көпөлшемді дифференциалдық геометрияның, әсіресе, римандық және псевдоримандық геометриялардың дамуына әсерін тигізді.

-геометриядағы байланыстылық ұғымына қатысты теориялар (Леви-Чивита, т.б).

-кванттық механиканың математикалық негіздері (Д.Гильберт, т.б.).

-броундық қозғалыстың математикалық теориясы (Колмогоров, т.б.).

XX ғасырда математиканы адамзатты бүкіләлемдік катастрофаға әкелетіндей мақсатта пайдалануға әрекет жасалды. Әр түрлі елдерде көптеген математиктер соғыс қаруларының соғыс қимылдарын жүргізудің жаңа құралдарын жасауға қатысты.Ұшақтарды құрастырудың мұқтаждықтары аэродинамиканың дамуына және ұшу теориясының пайда болуына алып келді (Н.Е.Жуковский, С.А.Чаплыгин, В.В.Голубев, т.б.) Бұл комплекс айнымалылар функциясының теориясының дамуына әсер етті. Әскери-теңіз флотын қалыптастыруға байланысты кемелер теориясында (А.Н.Крылов, т.б.), гироскопияда (А.Ю.Ишлинский, т.б.), орнықтылық теориясында, есептеулер әдістерінде іргелі табыстарға қол жеткізілді.Артиллериялық атқылау мен бомбалауды басқаруда ықтималдықтар теориясын пайдалану (Винер, Колмогоров, т.б.), алыс қашықтықтағы ракеталарды құрастырумен байланысты тиімді басқару теориясын дамыту (Л.С.Понтрягин, Р.Беллман) қолға алынды. Құпия хабарламаларды шешу және оларды байланыс каналдарымен тиімді түрде жеткізудің қажеттілігі математиканың жаңа саласы-ақпараттар теориясы (К.Шеннон,т.б.) пайда болды. Математика ғылымы атомдық бағдарламаларды жасау мен жүзеге асыруға да қызмет етті. Осының барысында есептеу техникаларын жетілдірудің қолға алынуы барысында алғашқы ЭЕМ-лар (ENIAK, МЭСМ, БЭСМ, т.б.) жасалды. Осының негізінде информатика ғылымы пайда болды.

3. XX ғасырға дейін көптеген атақты проблемалар шешіле қойған жоқ. Сондай проблемалардың ең ескісі (XVII ғ. қойылды) және аса маңыздысы Ферма теоремасы еді. (n>2 болғанда хⁿ+уⁿ=zⁿ теңдеуінің рационал шешімдері болмайды). Келесі проблема Гольдбах проблемасы (XVIII ғ. қойылды): «6-дан артық әрбір натурал санды үш жай санның қосындысы түрінде өрнектеуге бола ма?» Осымен тығыз байланысты Эйлер проблемасы: « Әрбір жұп санның екі жай санның қосындысы болатындығын дәлелдеу керек». XIX ғасырда Кантор қойған континиуум проблемасы: «Бірлік кесіндіге өзара бірмәнді бейнеленетіндей жиын бар ма? (бұл жағдайда бірлік кесіндіні осы жиынға бірмәнді бейнелеуге болмайды)?».1900 ж. Париждегі Халықаралық математикалық конгрессте Д.Гильберт өзінің ойынша, XX ғасырда математиканың дамуының болашағын анықтайтындай 23 проблеманы тұжырымдап берді. 1936 ж. К.Гедель континиуум проблемасын математикалық логика мен жиындардың жалпы қабылданған аксиоматикалық теориясының әдістері көмегімен теріске шығарудың мүмкін еместігін дәлелдеді, ал 1963 ж. америка математигі Пол Коэн оған кері теореманы дәлелдеді.

Гильберттің 10-проблемасы: «Операциялардың шектеулі санынан кейін берілген теңдеудің бүтін рационал сандар жиынында шешімі болатындығын тағайындау мүмкін болатындай тәсілді көрсету керек». Оның басқаша түрдегі тұжырымдалуы мынадай: «n айнымалысы бар және бүтін коэффициентті Р көпмүшелігі бойынша Р=0 теңдеуінің бүтін санды түбірлері болатындығын немесе болмайтындығын дәлелдеу керек». 1970 ж. орыс математигі Ю.В.Матиясевич мұндай алгоритмнің болмайтындығын дәлелдеді.

Гильберттің 13-проблемасы: «Қандай да бір үш айнымалының функциясын екі айнымалының үздіксіз функциясының суперпозициясы түрінде өрнектеу мүмкін емес». 1957 ж. Колмогоров пен В.И.Арнольд бұл тұжырымды теріске шығарып, оны шешіп берді.

Гольдбах проблемасы шешілді дерлік деуге болады. 1937 ж. И.М.Виноградов мынадай теореманы дәлелдеді: «Кез келген жеткілікті үлкен натурал санды үш жай санның қосындысы түрінде өрнектеуге болады».

Ферманың ұлы теоремасы: «x,y, z=≠0 үшін анықталмаған xⁿ+yⁿ=zⁿ теңдеуінің рационал n≥3 үшін шешімдері болмайды». Бұл теореманы 350 жыл бойы ешкім толық дәлелдей алған жоқ. Ферманың өзі бұл теореманы n=4 болған жағдай үшін дәлелдеп көрсеткен еді. Осы жағдай үшін оны 1738 ж. Л.Эйлер де дәлелдеді. Ал 1768 ж. Эйлер n=3 жағдайы үшін дәлелдеп берді.Принстон университетінің профессоры Эндрю Уайлс 1995 жылы ол теорманы толық дәлелдеп шығып, дәлелдемені жетекші математикалық журналдардың бірі «Математика анналдары» журналында жариялады. Сонымен 350 жылдан кейін ғана теорема толық дәлелденді.