- дәріс. XIX ғасыр математикасының табыстары

1. Математикалық логика.

2. Математиканың негіздемесі.

3. Жиындар теориясы.

4. XIX ғасыр математикасының көрнекті өкілдері.
Дәрістің қысқаша мазмұны

1. XIX ғасырдағы математикадағы теориялық-жиындық концепция жаңа негіздегі математикалық логиканың пайда болуына алып келді. де-Морган «Формальдық логика (1834) атты еңбегінде универсум ұғымына сипаттама беріп, атақты де-Морган заңдарын ұсынды және сәл кейінірек математикалық қатынас ұғымын енгізді, қатынастарға қолданылатын амалдарды анықтады. Дж.Булль қазіргі заманғы математикалық логиканың негізін салды (1847-1854). Ульям Стэнли Джевонс оның идеяларын жалғастырды және логикалық есептерді шеше алатындай «логикалық машина» жасады. 1877 ж. Эрнест Шрёдер қосалқылықтың логикалық принципін тағайындады, Готлоб Фреге пікірлерге амалдар қолдану мәселелерін дамытты. Ғасыр соңына қарай Чарльз Пирс қатынастардың жалпы теориясын құрып, квантор ұғымын енгізді. Пеано математикалық логиканың символикасының қазіргі нұсқасын жасады.

2. Математиканың іргетасын құрастыру математикалық анализден басталды. 1821 ж. Коши «Алгебралық анализ» атты шығармасында анализдің негізгі ұғымдарын шектер теориясы негізінде анықтады. Бірақ онда бірқатар қателіктер орын алды. Анализдің толық мағынадағы іргетасын жасауды К.Вейерштрасс жүзеге асырды. Вейерштрасс пен Дедекинд бірмезгілде нақты сандардың теориясының негіздемесін жасады (1860-1870). 1873 ж. У.Гамильтон комплекс сандардың нақты сандар жұбы ретіндегі моделін ұсынды. Фреге математикалық логиканың аксиомалар жүйесін (1879), Дедекинд пен Пеано натурал сандар үшін аксиомалар жүйесін (1888-89 ж.ж.), Гильберт «Геометрияның негіздемелері» атты еңбегін (1899) жариялады. Осылайша ғасыр аяғына қарай барлық дерлік математиканы қатаң аксиоматикаға негіздеп құру жүзеге асырылды.

3.1873 ж. Г.Кантор жиындарды олардың қуатының шамасына қарай классификациялау мәселесін жүзеге асырды. Бастапқыда Кантордың идеялары математиктер тарапынан үлкен қолдау тапуып, жиындар теориясы бүкіл математиканың болашақ аксиоматикасының негізі ретінде қарастырылды. Алайда, кейінірек оның шексіздікті зерттеуде жарамсыз болатындығы анықтала бастады.Ең алғашқы қарама-қайшылық ең үлкен жиынды-«жиындардың жиынын» қарастыру барысында туындады (1895). Кейіннен математикада «антиномиялар» деп аталып кеткен бұдан басқа да қарама-қайшылықтар кездесе берді. Бұл математиктер арасында әртүрлі пікірлердің орын алуына алып келді. XX ғасыр басында жиындар теориясының бұрын анықталған қарама-қайшылықтардан арылған нұсқасына келісу жүзеге асырылды. Бірақ соған қарамастан, қазіргі математиктер арасында бірлік жоқ деуге болады, бүгінгі күні әралуан ғылыми мектептер математиканы негіздеудің өзіндік көзқарастарын дамытуда.

4. XIX ғасырда ашылған математикалық жаңалықтар негізінен алғанда, мынадай математиктердің есімдерімен байланысты: