1. Еселі және қисық сызықты интегралдар
Дивергенция. Гаусс-Остроградский формуласы
жүктеу/скачать 0,97 Mb.
|
еселі жане қисық сызыкты интеграл лекция
- Бұл бет үшін навигация:
- Анықтама. А векторының дивергенциясы
- Теорема
| 1.12. Дивергенция. Гаусс-Остроградский формуласы.
үш өлшемді кеңістікте тік бұрышты координаттар жүйесі берілсін. – осы кеңістіктегі құрақты-тегіс шекарасы бар аймақ, ал аймағында анықталған векторлық өріс болсын. функциялары тұйықтамасында үзіліссіз деп ұйғарамыз. Анықтама. А векторының дивергенциясы деп, тұйықтамасында үзіліссіз Функциясын айтады. Дивергенцияның символдық векторы мен а векторының скаляр көбейтіндісіне тең екенін көру қиын емес: Келесі тұжырымда S тұйық беті G аймағының сыртына қарай бағытталған бірлік векторы арқылы бағытталған деп есептейміз. Теорема. Вектор дивергенциясының үш өлшемді G аймағы бойынша үш еселі интегралы вектордың S шекарасы арқылы ағынына тең: (3) (3) теңдікті Гаусс-Остроградский формуласы деп айтады. Егер (3) формулада деп алсақ, онда G аймағының көлемі аймақтың сыртқы нормалімен бағытталған шекарасы бойынша алынған екінші текті беттік интегралы арқылы өрнектеледі: Дивергенция ұғымының физикалық мағынасын түсіну үшін,G аймағында кез келген нүктеде жылдамдығы тең сұйықтың стационар ағыны бар деп есептейміз. Кез келген белгілі бір нүктесін алып, оны радиусі болатын шарымен қоршайық. Оның сыртқы нормаль арқылы бағытталған шекарасы болсын. Онда Гаусс-Остроградский формуласы бойынша аламыз. Бұл теңдіктің сол жақ бөлігі шардан бірлік уақыт ішінде ағып шығатын сұйықтың мөлшерін өрнектейді. Оның оң бөлігіне орта мән туралы теореманы қолдансақ, (4) аламыз. Мұнда арқылы шар көлемі, ал арқылы шарының белгілі бір нүктесіндегі сұйық жылдамдығы белгіленген. функциясы үзіліссіз болғандықтан, (4) теңдіктен (5) аламыз. Сонымен дивергенциясы аймағы бойынша үзіліссіз үлестірілген бұлақ көздерінің нүктесіндегі өнімділігін көрсетеді екен. Егер А нүктесінде болса, онда А нүктесінде бұлақ көздерінің өнімділігі нөлге тең; егер болса, онда ол – сұйықтың ағып кету нүктесі; егер болса, онда ол – бұлақ көзі болатын нүкте. Гаусс-Остроградский формуласын жазықтық үшін жазайық. Онда аймағы жазықтығында жатады да, осы аймақта анықталған векторлық өріс болады. Егер векторы аймағының Г құрақты-тегіс контурының сыртқы нормалі болса, онда . Мұндағы шамасы – Г доғасының дифференциалы. жүктеу/скачать 0,97 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|