19-сурет 19-суретте сыртқы нормаль арқылы бағытталған куб көрсетілген.
1.11.2. Вектордың бағытталған бет арқылы ағыны. Тік бұрышыт координаттар жүйесі бар үш өлшемді кеңістікте H аймағы берілген және онда үзіліссіз вектор өрісі анықталған болсын. Осы H аймағында бағытталған тегіс беті келесі теңдеумен берілсін:
(1)
Мұндағы параметрлер жазықтығындағы аймағының тұйықтамасында үзіліссіз дифференциалданатын функциялар
Бетінің бірлік нормаль векторы мына теңдікпен берілсін:
(2)
Бұдан келесі теңдікті ескеріп,
(*)
векторының өстерімен жасайтын бұрыштарының косинустарын жаза аламыз:
(3)
Бағыты алынып тасталған бетін S арқылы белгілейміз. Енді а векторын H аймағында ағатын сұйық жылдамдығының өрісі деп алып, бірлік уақыт аралығында бағытымен беті арқылы өтетін сұйық мөлшерін (W) анықтау есебін шешейік. Мұнда стационар ағын, яғни кез келген нүктедегі сұйықтың жылдамдығы осы A нүктесіне тәуелді, бірақ t уақытына тәуелсіз болатын ағын туралы сөз болып отыр (20-сурет).
20-сурет
Есепті шешу үшін, қандай да бір нүктесі жататын S бетінің dS элементін аламыз. Осы элемент арқылы бағытымен бірлік уақыт аралығында өтетін сұйық мөлшері жоғары ретті ақырсыз кішкене аз шамаға дейінгі дәлдікпен, а жылдамдық өрісінің нормаль бағытына түсірілген проекциясы мен элемент ауданының көбейтіндісіне тең. :
Ал уақыт бірлігі ішінде беті арқылы өтетін сұйық мөлшері функциясының S беті бойынша бірінші текті интегралына тең:
(*)
Мұндағы функциясы аймағында үзіліссіз, демек бірінші текті (*) беттік интегралы бар.
(*) Интегралын түрінде де жазуға болады. Бұл түрде ол екінші текті беттік интеграл деп аталады. Жалпы жағдайда а векторы H аймағында анықталған үзіліссіз болса, онда W шамасы а векторының бағытталған беті арқылы ағыны деп аталады.
