20. Екінші ретті қисықтардың канондық теңдеулері. Эллипс пен гиперболаның эксцентриситеттері мен директрисалары.
Жоғары математикада екінші дәрежелі теңдеулермен анықталатын сызықтарды екінші pеттi қисықтар деп атайды. Олар негізінен шеңбер, эллипс, гипербола және парабола деп аталады. Бұл қисықтар техника мен ғылым саласында иі кездеседі.
1. Шеңбер. Шеңбердеп аталатын берілген нүктеден бірдей қашықтықта жататын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын шенбер деп атайды.
С(х0,у0) - берілген нукте. Шеңбердің бойынан кез келген
жылжымалы М(х,у) нүктесін алайык. Сонда СМ(х -х0,у-у0),
мұндағы F1 және F2 -фокус деп аталатын берілген центрі С нуктесінде жаткан радиусы R -ге тең шеңбердің канондық теңдеуі.
Егер шеңбердің центрі С координаттардың бас нүктесінде жатса, онда х0 = у0 = 0 .
Сондықтан: х2 +у2 = R2
2. Эллипс. Фокустар деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы әрқашанда тұрақты шама болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орындарын эллипс деп атайды. Анықтама бойынша F1M + F2M = 2a
нүктелер,
М{х, у) – эллипстің бойындағы кез келген жылжымалы нүкте,
2а-тұрақты шама
Егер F1F2 = 2с десек, онда F1(-C;0), F2(C;0). Сонда:
Енді осы мәндерді қойсақ:
немесе
Егер а>с болса, онда а2 —с2=b2 болады. Сондықтан эллипстің канондық теңдеуі деп аталатын теңдеуге келеміз:
Мұндағы х пен у эллипстің кез келген жылжымалы нүктесінің координаттары, а – эллипстің үлкен жарты oci, b – онын кіші жарты oci.
Осьтер эллипске симметриялы, ал симметриялы осьтердің қиылысатын нүктесі эллипстің цeнтpi болады.
қатынасын эллипстің эксцентриситеті деп атайды және оны деп белгілейді. Сонымен 6ipгe а > с болғандьқтан l < 1 немесе
Эллипстің үлкен осіне перпендикуляр түзулердің ішінде 6ip түзудің эллипстің кіші осінен қашықтықты d әрқашанда а/l қатынасына тең тұрақты шама болса, онда мұндай түзуді эллипстің директрисасы деп атайды. Директрисалардың тендеу . Эллипс үшін l < 1 болғандьқтан .
Сондықтан эллипстің директрисалары оның сыртында жатады.
Егер a=b болса, онда шеңбер эллипстің дерпбес жағдайы болады. Бұл жағдайда с=0, ендеше шеңбердің эксцентриситеті нөлге тең.
Достарыңызбен бөлісу: |
