10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

36
Жаттығулар
А
5.1.Функцияның жұп немесетақ екенiнанықтаңдар:
а) у = x cosx;
ә) у =
;
б) у =
;
в) у =
.
5.2.Қарапайымтүрлендiрулердiқолданып, у = sin
функция-
сыныңграфигiнсалыңдар.Осыграфиктiң у = sinx функциясының
графигiненайырмашылығынкөрсетiңдер.
5.3.у = f(x) функциясыныңграфигiнсалыңдар:
а) у = 1 + cosx; ә) у = sinx – 3; б) у = tgx – 1; в) у = –2 + ctgx.
5.4.Функцияның графигінсалыңдар:
а) у = tg
;
ә) у = cos
.
В
5.5.у = f(x) функциясының графигiн салыңдар:
а) у =sin2x;
ә) у = cos3x;
б) у = tg ;
в) у = ctg ;
г) у =3 – sin ;
ғ) у = cos1,5x  –  2.
5.6.у = f(x) функциясыныңең кiшi оң периодынанықтаңдар:
a) f (x) = sin7x;
ә) f (x) = tg
;
б) f (x) = cos ;
в) f (x) = ctg 8x;
г) f (x) = sin0,25x;
ғ) f (x) = cos2,5x.
5.7.Қарапайымтүрлендiрулердiқолданып,берiлгенфункцияныңгра-
фигiн салыңдар:
а) у = cos
+ 2;
ә) у = 2 sin
–1.
1. Синусоидақисығында бiрсарындыөспелi немесебiрсарындыкемiмелi
бөлiктер бар ма?
2. Негеу = cosx функциясыныңмәндерi1-денаспайды?
3. 1 және–1 сандарыу = sinx функциясыныңмәндерiдегенұғымнанбасқа
қандайқасиетiнкөрсетедi?
4. у = cosx жәнеу = sinx функцияларыныңайырмашылықтарынайқын
көрсететiнқасиеттерiнатаңдар.
5. Неге барлық нақты сандаржиыны y = tgx және y = сtgx функция-
ларыныңанықталуоблысыныңжиыны болаалмайды?

37
Функция,оныңанықталуоблысы,мәндержиыны,қасиеттерi,керi
функцияұғымы,оны құру әдiсi,тригонометриялықфункциялардың
қасиеттерi,графиктерi.
§6. АРКСИНУС,АРККОСИНУС,
АРКТАНГЕНС,
АРККОТАНГЕНС
6-кестенітолтырыңдар:
6-кесте
Функция
Берілгенфункцияға
керіфункция
у = 2х
у = х– 2
у = –х+3
у = х
2
(x
l
0)
Кері функцияның анықтамасынжәне оның бар болу шартын
қолданып,керітригонометриялықфункциялардыңұғымыненгізейік.
I. у = sinx функциясына
керiфункция
.
у = sinx функциясы
кесiндiсiнде
анықталған, бiрсарындыөспелi және өзiнiң
барлық мәндерiн[–1; 1] кесiндiсiндеқабыл-
дайды. Демек,
кесiндiсiндеу = sinx
функциясынакерi функциябар.
у = sinx функциясына керi функция
y = arcsinx деп белгiленiп,арксинусиксдеп
оқылады.
Түйіндіұғымдар
Функция, кері функ-
ция, арксинус, аркко-
синус, арктангенс,арк-
котангенс
Сендерарксинус,арккосинус,арктангенс,
арк-
котангенсұғымдарыментанысасыңдар,
олардың
мәндерiнесептеуде,
өрнектердiықшамдауда,тепе-
теңдiктердi
дәлелдеуде
қолдануды
үйренесiңдер.
ТҮСІНДІРІҢДЕР
Неліктенкестедегітөртіншімысалдақосымшашарт берілген?
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР
37-сурет

38
Ондау = arcsinx функциясы[–1; 1] кесiндiсiндеанықталған,
кесiндiсiнде өзгеретiнбiрсарынды өспелi функция.
у = arcsinx функциясыныңграфигi у = sinx функциясының графи-
гiне у = x түзуiнеқарағандасимметриялы қисық. Демек,у = x түзуi
симметрияосi болыптабылады (37-сурет).
Ендiу =arcsinx керiтригонометриялықфункциясыныңқасиеттерiн
келтiрейiк:
1) функцияныңанықталуоблысы[–1; 1] кесiндiсi;
2) мәндержиыны
кесiндiсi;
3) функциятақ, яғни arcsin(–x) = –arcsinx;
4) функциябiрсарындыөспелi.
Кез келген x
∈
[–1; 1] үшiн sin(arcsinx) = x жәнеаrcsinx
∈
.
у = sinx (мұндағы x
∈
, (–1
m
sinx
m
1) — тура функция.
у = arcsinx (мұндағыx
∈
[–1; 1], (
m
arcsinx
m
) — керiфункция.
ТҮСІНДІРІҢДЕР
arcsin
= –arcsin
=– .
II. у = cosx функциясына
керiфункция.
у = cosx функциясыx
∈
[0;
π
] кесiндiсiндеанықталған, бiрсарынды
кемiмелiжәнеөзiнiңбарлықмәндерiн,–1
m
cosx
m
1, қабылдайды.Ендеше,
x
∈
[0;
π
] кесiндiсiндеу = cosx функциясынакерi функциябар.
у = cosx функциясынакерiфункция y = arccosx
деп белгiленiп,арккосинусиксдеп оқылады.
у =arccosx функциясы[–1; 1] кесiндiсiндеанық-
талған, [0;
π
] кесiндiсiнде өзгеретiнбiрсарынды
кемiмелiфункция.
у = arccosx функциясының графигi у = cosx
функциясыныңграфигiнеу = x түзуiнеқарағанда
симметриялықисық. Демек,у = x түзуi — симме-
трия осi (38-сурет).
МЫСАЛ
1. arcsin
мәнiн табайық.
Шешуi. Анықтама бойынша у = arcsin
функциясын sinу =
түрінде
жазамызжәне
m
у
m
. Сондықтану = , осыданarcsin
=
.
Жауабы:
.
38-сурет

39
39-сурет
Ендi у = arccosx керiтригонометриялықфункция-
сының қасиеттерiнетоқталайық:
1) функцияныңанықталуоблысы[–1; 1] кесiндiсi;
2) мәндержиыны [0;
π
] кесiндiсi;
3) функцияжұп та, тақ та емес;
4) функциябiрсарындыкемiмелi.
Кез келген x
∈
[–1; 1] үшiн x = cos(arccos
x),
0
m
arccosx
mπ
теңдiгi орындалады.
Демек, у = cosx (мұндағы x
∈
[0;
π
],
–1
m
cosx
m
1) — тура функция;
у = arccosx (мұндағыx
∈
[–1; 1], 0
m
arccosx
mπ
) —
керi функция.
Кез келген x
∈
[–1; 1] үшiн arccosx + arccos(–x) =
π
немесе
arccos(–x) =
π
– arccosx
(1)
тепе-теңдiгiналуға болады. Осы тепе-теңдiктiңорындалатынын
у = arccosx функциясының графигiненкөругеболады(39-сурет).
ТҮСІНДІРІҢДЕР
Неліктенarccos =
болады?
III. у = tgx функциясына
керiфункция.
x
∈
интервалындау = tgx функциясы анықталған,бiрсарын-
ды өспелiжәнеөзiнiң барлық мәндерiнқабылдайды, tgx
∈
(–
∞
; +
∞
).
Демек,x
∈
интервалындау =tgx функциясынакерiфункциябар.
у = tgx функциясынакерi функция y =
= arctgx деп белгiленiп,арктангенс
иксдеп
оқылады.
у = arctgx функциясы x
∈
R жиынында
анықталған,
интервалында өзгеретiн
бiрсарындыөспелiфункция.
у = arctgx функциясыныңграфигiу = tgx
функциясының графигiне у = x түзуiне қара-
ғандасимметриялықисық(40,а-сурет).Демек,
у = x түзуi симметрия осi болыптабылады.
МЫСАЛ
2. arccos
мәнiн табайық.
Шешуi. arccos
өрнегiнiң мәнiн табу үшiн (1) тепе-теңдiктiқолданамыз:
arccos
=
π
– arccos =
π
–
=
.
Жауабы:
.
40, а-сурет

40
Ендi у =arctgх керiтригонометриялықфункциясыныңқасиеттерiне
тоқталайық:
1) функцияныңанықталуоблысы— барлық нақты сандаржиыны,
яғни x
∈
R;
2) мәндержиыны
интервалы;
3) функциятақ, яғни кез келгенx үшiн arctg (–x) = –arctgx ;
4) функциябiрсарындыөспелi.
Кез келгенx үшiн x = tg(arctgx), – < arctgx < .
ТҮСІНДІРІҢДЕР
Неліктенarctg(–1) = –
болады?
IV.
у
= ctg
x
функциясына
керiфункция.
у = ctgx функциясы(0;
π
) интервалындаанықталған,бiрсарынды
кемiмелiжәнесол аралықтаR жиынындағыөзiнiң барлық мәндерiн
қабылдайды.
Демек,осы интервалдау = ctgx функция-
сына керi функциябар.
y =ctgx функциясынакерiфункцияy =arcctgx
депбелгiленiп,арккотангенс
иксдепоқылады.
Онда у = arcctgx функциясы x
∈
R жи-
ынында анықталған, (0;
π
) интервалында
өзгеретiнбiрсарындыкемiмелi функция.
y = arcctgx функциясыныңграфигiy = ctgx
функциясыныңграфигiнеy = x түзуiнеқара-
ғандасимметриялықисық (40,ә-сурет).Демек,
y = x түзуi — симметрияосi.
у = arcctgx керi тригонометриялықфункциясыныңқасиеттерiне
тоқталайық.Функцияның:
1) анықталуоблысы— барлықнақты сандаржиыны, яғни x
∈
R;
2) мәндержиыны (0;
π
) аралығы;
3) функцияжұп та, тақ та емес;
4) функциябiрсарындыкемiмелi.
Кез келгенx үшiн x = ctg (arcctgx), 0 < arcctgу <
π
;
arcctg(–x) =
π
– arcctgx
(2)
тепе-теңдiгiорындалады.
МЫСАЛ
3. arctg
мәнiнесептейiк.
Шешуi.Анықтамабойыншаtgу =
және– < у < . Осыдан
у = . Сонымен,arctg
= .
Жауабы:
.
40, ә-сурет

41
ТҮСІНДІРІҢДЕР
Неліктенarcсtg = болады?
Өрнектердi ықшамдау,есептеу,теңдеулердiшешу, тепе-теңдiктер-
дi дәлелдеукезiнде керi тригонометриялықфункциялардыңқолда-
нылуынамысалдаркелтiрейiк.
МЫСАЛ
6. tg
өрнегiнiңмәнiнесептейiк.
Шешуi. Алдымен arccos
=
ϕ
деп белгiлейiк. Сонда cos
ϕ
= –
және
<
ϕ
<
π.
Ендi жарты бұрыштың формуласынасәйкес tg
2
=
=
=
= = 4. Сонда tg = ±2 болады. Есептiң шарты бойынша
<
ϕ
<
π
, демек,
< < , ал
интервалындаtg = 2. Демек,tg
= 2.
Жауабы: 2.
1. Неге у = sinx функциясына керi функцияны
кесiндiсiндеғана
қарастырамыз?
2. у = ctgx функциясынакерi функция болу үшiн қандай шарттарорын-
далуы керек?
МЫСАЛ
5. Егер
х
аргументi [–1; 1] кесiндiсiнде өзгерсе, онда
cos(arcsinx)-ты табайық.
Шешуi. arcsinx = у деп алайық. Онда x = sinу және у
∈
. Ендi
cosу-тi анықтауүшiн cos
2
у + sin
2
у = 1 тепе-теңдiгiнқолданамыз.Сондаcos
2
у = 1 –
– sin
2
у, демек, cos
2
у = 1 – x
2
. у
∈
кесiндiсiндеcosу
l
0. Сондықтан
cosу =
, яғни cos(arcsinx) =
.
Жауабы:
.
МЫСАЛ
4. arcсtg(–
) мәнiнесептейiк.
Шешуі. arcctg(–x) =
π
– arcctgx тепе-теңдiгiбойынша,arcctg(–
) =
=
π
– arcctg
=
π
– =
.
Жауабы:
.
1. arcsinx + arccosx = , мұндағых
∈
[–1; 1].
2. arctgx + arcctgx = .
ЕСТЕ
САҚТАҢДАР:

42
Жаттығулар
А
6.1.Есептеңдер:
а) arcsin
;
ә) arccos ;
б) arcctg
;
в) arccos
;
г) arcsin
;
ғ) arctg
.
6.2.Өрнектіңмәнінтабыңдар:
а) arctg(–1) – arctg1;
ә) arcsin(–1)– arccos
;
б) arcsin
– arctg
;
в) arcsin1+ arctg
.
6.3.Салыстырыңдар:
а) arcsin
жәнеarccos ;
ә) arcsin жәнеarctg1;
б) arccos
жәнеarctg
;
в) arcctg(–1) жәнеarctg(–1).
Өрнектердіңмәндерінтабыңдар(6.4—6.7):
6.4.а) сos
;
ә) tg
;
б) sin
;
в) cos
.
6.5.а) arcctg1– arctg
– arccos
;
ә) arcsin
+ arctg
; – arcctg
;
б) arcsin(–1)–
arccos + 3arcctg
;
в) –4arcsin
+ 8arccos
– 15arctg .
В
6.6.а) sin
;
ә) cos
;
б) cos
;
в) sin
.
6.7.а) tg
;
ә)
;
б) cos(
π
– arcsin(–1));
в)
.

43
Калькулятордыңнемесекестенiңкөмегiменөрнектердiңмәнiн
табыңдар(6.8-6.9)
:
6.8.а) arcsin0,5005;
ә) arccos0,8091.
6.9.a) arctg3,5;
ә) arccos0,2184.
6.10.Теңдеудiшешiңдер:
а) arctg2x = ;
ә) arcсtg(–3x) = ;
б) 2arcsin(5x – 1) = – ;
в) 3arcсos(2x + 3) =
.
6.11.Келесiөрнектердiңмағынасыбар ма:
а) arcsin ;
ә) arctg
;
б) arccos ;
в) arcctg0?
ӨЗІҢДІТЕКСЕР!
1. y =
функциясыныңанықталуоблысынтабыңдар:
А) x
≠
+
π
n, n
∈
Z;
B) x
≠
2
π
n, n
∈
Z;
C) x
≠
+ 2
π
n, n
∈
Z;
D) x
≠π
n, n
∈
Z.
2. y = 3 + 2 cosx функциясыныңмәндержиынын табыңдар:
А) [–1; 3];
B) [–5; 0];
C) [1; 5];
D) [3; 5].
3. Суреттеқай функцияныңграфигікескінделген:
А) y = sin2x;
B) y = cos ;
C) y = cos2x;
D) y = sin ?
4. y = sin4x +
функциясыныңанықталуоблысынтабыңдар:
А) (–
∞
; 3);
B) (–
∞
; 3)
∪
(3; +
∞
);
C) [0; 3];
D) (–3; +
∞
).
5. y = 3cos
2
x – 1 функциясыныңмәндержиынын анықтаңдар:
А) [1; 2];
B) [–1; 3];
C) [–1; 2];
D) [0; 3].
6. arcsin – arccos
өрнегінің мәні негетең:
А)
; B)
; C)
; D) 0?
7. Суреттеқай функцияныңграфигі
кескінделген:
А) у = cos2x ;
B) у = –2 cosx ;
C) у = 2cosx ;
D) у = 2 sinx?

44
8. arcsin1– arccos0– 2arctg0 өрнегiнiңмәнiнесептеңдер:
А) 0;
B) –1;
C) 1;
D) 2.
9. arcsin жәнеarccos
сандарынсалыстырыңдар
:
А) arcsin = arccos
;
B) arcsin > arccos
;
C) arcsin < arccos
;
D) arcsin
m
arccos
.
10. y =cosx функциясыныңграфигiнеқаншатүрлендiружасауарқылы
y = 3cos
+ 1 функциясыныңграфигiналуғаболады:
А) 2;
B) 3;
C) 4;
D) 5?
11. arctg0– arccos – arcsin + arсctg0өрнегiмәнiнiңквадратынеге
тең:
А) 2;
B) 1;
C) 4;
D) 0?
Математикалық
сауаттылық
бойынша
тапсырмалар
12. Шаршының ауданы 81 см
2
. Қабырғасыныңұзындығы берілген
шаршықабырғасының25%-ын құрайтынекіншішаршыныңпери-
метрінтабыңдар:
А) 18;
B) 10;
C) 4;
D) 9;
Е) 15.
13. 15 кг алмұртпен6 кг алманыңқұны 5 кг алмұртпен18 кг алманың
құныменбірдей.1 кг алмұрттыңбағасы1 кг алманыңбағасынан
қанша есеартық:
А) 2 есе;
B) 3 есе;
C) 25 есе;
D) 1,5 есе; Е) 1,2 есе?
14. 25 санынабөлгендеқалдықтабірсанынберетінеңүлкенүштаңбалы
сандытабыңдар:
А) 976;
B) 975;
C) 974;
D) 966;
Е) 964.
15. Кестедегісандар қандай да бір заңдылықпенқұрастырылған.
Белгісізсандытабыңдар:
3
5
2
6
4
7
4
60
5
60
5
?
А) 150;
B) 160;
C) 140;
D) 130;
Е) 170.
Тригонометриялық
функциялардыңанықтамалары,қасиеттері,
графиктері,формулалары,керітригонометриялық
функциялар,тепе-
теңтүрлендірулер.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР

45
3
ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ
ТЕҢДЕУЛЕР
МЕНТЕҢСІЗДІКТЕР

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: