10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

81
Салдар.Егер v функциясыныңх нүктесiндетуындысыбар, ал
С тұрақтысан болса,онда Сv функциясыныңда осы x нүктесiнде
туындысыбаржәнеол
(Сv)
′
= С · v
′
(4)
формуласыменанықталады.
(4)-формуланы
үшіншіереженіқолданыпдәлелдеңдер.
МЫСАЛ
2. у = 15x
2
функциясыныңтуындысынтабайық.
Шешуі: МұндағыC = 15, v = x
2
, демек,(4) формуланыпайдаланамыз:
у
′
= (15x
2
)
′
= 15 · (x
2
)
′
= 15 · 2х = 30х .
Жауабы: 30х.
4-ереже.
Егерx нүктесiндеu жәнеv функцияларыныңтуындыла-
ры бар жәнеv ≠0 болса,онда осы нүктедеолардыңбөлiндiсiнiңде
туындысыбарболадыжәнеол
(5)
формуласыарқылыанықталады.
3-ереже.Егер x нүктесiндеu жәнеv функцияларыныңтуын-
дыларыбарболса,ондаосынүктедеолардыңкөбейтiндiлерiнiң
де
туындысы бар боладыжәнеол
(u · v)
′
= u
′
v – v
′
u
(3)
формуласыменанықталады.
ТҮСІНДІРІҢДЕР
у = 6x
2
– 3х +1 функциясыныңтуындыcы12х – 3 болатынынтүсіндіріңдер.
МЫСАЛ
3. y =
функциясыныңтуындысынесептейiк.
Шешуі:
y
′
=
=
=
=
=
=
.
Жауабы:
.

82
МЫСАЛ
4. а) у = x
6
; ә) у = 5x
4
+ x
9
; б) y = x
8
–
функцияларының
туындысынтабайық.
Шешуі. а) y
′
= (x
6
)
′
= 6 · x
6 – 1
= 6x
5
;
ә)
y
′
= (5x
4
+ x
9
)
′
= 5(x
4
)
′
+ (x
9
)
′
= 5 · 4x
3
+ 9x
8
= 20x
3
+ 9x
8
;
б) y
′
=
=
· (x
8
)
′
– 3 · (x
–7
)
′
= · 8x
7
– 3 · (–7) · x
–7 – 1
= 4x
7
+
.
Жауабы: а) 6x
5
; ә) 20x
3
+ 9x
8
;
б) 4x
7
+
.
Жаттығулар
А
14.1.Функциялардыңтуындысынтабыңдар:
а) f(x) = x
3
+ 2x
2
– 4;
ә) f(x) = 4x
8
+
;
б) f(x) = x
3
+ 2x
4
;
в) f(x) = 4x
6
+ 7x
5
+ 1;
г) f(x) = – x
2
+ 3x – 4;
ғ) f(x) = x
4
+ x;
д) f(x) = 2
– 2;
е) f(x) = –5x
2
+ x + 1.
14.2.f
′
(x) = 0 теңдеуiншешiңдер:
а) f(x) = 4x
2
+ 2x;
ә) f(x) = 3x
2
– 4x ;
б) f(x) = x
2
+ x – 1;
в) f(x) = –0,5x
2
– 4x + 0,1.
14.3.у = f(x) функцияларыныңx
0
нүктесiндегiтуындысынтабыңдар:
а) f(x) = x
2
(x – 1), x
0
= –1;
ә) f(x) =
, x
0
= –1;
б) f(x) = 3x (x + 1), x
0
= – ;
в) f(x) =
, x
0
= 1.
14.4.f
′
(x) > 0 теңсіздігіншешіңдер:
а) f(x) = 18x
2
– 7x + 1;
ә) f(x) = – 5x + 2;
1-денүлкенкезкелгенn
∈
N үшiн у = x
n
дәрежелiкфункцияның
туындысы
(x
n
)
′
= nx
n – 1
(6)
формуласыменесептелiнедi.
1. Қосылғыштарыныңсаны екiден артық болатын қосындының туынды-
сын қалай табуғаболады?
2. Бөлiндiнiңтуындысынесептегендеқандайшарт орындалуытиiс?
3. Бөлiндiнiң туындысын екi функцияның көбейтiндiсiнiң туындысы
ретiндеқарастыруғаболама?

83
б) f(x) = 1 + 3x – x
2
;
в) f(x) = x
2
– 2x + .
14.5.Функциялардыңтуындысынтабыңдар:
а) f(x) = (x + 5)(x – 4);
ә)f(x) =
x
2
– (3x – 2)(5x + 1);
б) f(x) =
;
в) f(x) =
.
В
14.6.Функциялардыңтуындысынтабыңдар:
а) f(x) =
;
ә) f(x) =
;
б) f(x) =
;
в) f(x) =
.
14.7.f(x) функциясыныңx
0
нүктесiндегiтуындысыныңмәнiн есеп-
теңдер:
а) f(x) = 4x
4
– 5x
2
, x
0
= 1;
ә) f(x) = 2x
5
– 3x
3
+ 1, x
0
= –2.
14.8.у = f(x) функциясыныңх = –1 болғандағытуындысыныңмәнін
табыңдар:
а) f(x) =
;
ә) f(x) =
;
б) f(x) =
;
в) f(x) =
.
14.9.f 
′
(x) = 0 теңдеуіншешіңдер:
а) f(x) = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1;
ә) f(x) = x
3
– 6x
2
+ 12x – 1.
14.10.f 
′
(x) > 0 теңсiздiгiншешiңдер:
а) f(x) = 12x
3
+ 18x
2
– 7;
ә) f(x) = – x
3
+ x
2
+ 3x.
14.11.f 
′
(x)
m
0 теңсіздігіншешіңдер:
а) f(x) = x
3
+ 0,5x
2
– 4x + 2;
ә) f(x) = – x
3
+ 0,5x
2
+ 2x.
14.12.Егерf(x) = x
3
+ 2x
2
– 3x жәнеg(x) = x
4
– 3x
3
– 3x болса,онда
f
′
(0) жәнеg
′
(0) мәндерінсалыстырыңдар.
Функция,функцияныңграфигi,функцияменаргументтiңөсiмшесi,
туынды,жанама,туындытабу ережелері.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР

84
§ 15.ТУЫНДЫНЫҢФИЗИКАЛЫҚЖӘНЕГЕОМЕТРИЯЛЫҚ
МАҒЫНАСЫ.ФУНКЦИЯГРАФИГIНЕЖҮРГІЗІЛГЕН
ЖАНАМАНЫҢТЕҢДЕУІ
Туындының
физикалық
мағынасы
Түзу сызық бойыменқозғалғанфизикалық дененiңt уақыт iшiнде
жүрiп өткенжолы s(t) функциясымен берiлсiн.Қозғалыстағыдененiң
t +
∆
t уақыт өткенненкейiнгi жолы s (t +
∆
t) функциясымен анық-
талады.Ал уақыт t-данt +
∆
t шамасынаөзгергендегіжолдыңшамасы
s(t +
∆
t) – s(t)
айырымынатең.Ендiосыайырымды
∆
t уақытқабөлсек,қозғалыстағы
дененiңорташажылдамдығын аламыз:
, немесеv
орт
=
.
Cоңғы өрнектен
∆
t нөлге ұмтылғандағышекке көшсек, орташа
жылдамдықt уақытындағыжылдамдыққаұмтыладыv
орт
→
v(t) немесе
v (t) = s
′
(t)
(1)
теңдiгiналамыз.
Мұндағыs(t) — қозғалыстағы дененiңt уақыт iшiндегi жүрген
жолы, ал v(t) =s
′
(t) — қозғалыстағыдененiңt уақыт мезетiндегiлездiк
жылдамдығы
.
t уақытмезетiндегiдененiңқұлау жылдамдығыv (t) = h
′
(t) =
=
= g = gt, яғниh
′
(t) = v(t) = gt, мұндағыg = 9,81 м/с
2
— еркiнқұлаған
дененiң үдеуi.
Демек,v(t) =gt өрнегiберiлгенh(t) = t
2
теңдеуiнесәйкесқозғалатын
дененiң(функцияның) лездiкжылдамдығын бередi.
Жалпы, y = f(x) функциясының х нүктесiндегiтуындысы оның
х нүктесiндегiөзгеру жылдамдығынанықтайды. Бұл туындының
физикалықмағынасы.
Егер v(t) жылдамдығынантуынды табатын болсақ, онда v
′
(t) =
= (gt)
′
= g шығады. Демек,жылдамдықтаналынғантуындыүдеугетең.
Түйіндіұғымдар
Ф у н к ц и я , туынды,
функция графигі, жа-
нама
Сендертуындыныңфизикалықжәнегеомет-
риялықмағынасынбілесіңдер;жанаманыңтең-
деуіментанысасыңдар,
туындыныңфизикалық
жәнегеометриялық
мағынасынқолданып,есептер
шығарудыүйренесiңдер.
СЕНДЕР
БІЛЕСІҢДЕР:
Биiктiктен еркiн құлаған дененiң t уақыт iшiндегi жүрген
жолы h(t) = g
функциясыменанықталатыныфизика курсы-
нан белгiлi.

85
Туындының
геометриялық
мағынасы
y = f(x) функциясыныңх
0
нүктесiндеy
′
= f
′
(x) туындысыбар деп
ұйғарып,оның геометриялықмағынасынанықтайық.51-суреттегiАВ
қисығыу =f(x) функциясыныңграфигiболсын.N
0
жәнеN нүктелерi —
АВ қисығының бойындажатқан нүктелер. Осы екi нүкте арқылы
жүргiзiлгенТТ
′
— қиюшы түзу. Оx осiнiң оң бағытыменТТ
′
түзуiнiң
арасындағы бұрышты
β
деп белгiлейiк. Оx осiне параллельN
0
E, ал
N нүктесiарқылы Oу осiнепараллельNE түзулерiнжүргiзейiк.Сон-
да N
0
EN тiкбұрышты үшбұрышы шығады.
∠
N
0
EN = 90°,
∠
EN
0
N =
=
β
, МN
0
= E
1
E = f(x
0
), себебi N
0
(x
0
, f(x
0
)) жәнеМN
0
||E
1
E.
N
0
E =
∆
x, E
1
N = f(x
0
+
∆
x), EN = f(x
0
+
∆
x) – f(x
0
) =
∆
у.
=
= tg
β
. АВ қисығының бойындағыN
0
жылжымайтыннүкте
болсын,ал Nнүктесiнқисықтың бойыменжылжытқандаN
0
нүктесiмен
беттессiндеп ұйғарайық.
Сонда қиюшы ТТ
′
қисықтың N
0
нүктесiндегi жанамасы,яғни FF
′
түзуiнеайналады. Қиюшы мен Оx осiнiң оң бағытыныңарасындағы
β
бұрышы жанама мен Оx осiнiң оң бағытының арасындағы
α
бұры-
шына айналады, яғни
∆
x
→
0 ұмтылғанда
β → α
(51-сурет).
Осы жоғарыдаайтылғандарды мына теңдеуменжазуға болады,
∆
x
→
0 болғанда
=
→
f
′
(x
0
). Олай болса,
β → α
ұмтылғандаtg
β →
tg
α
= k.
Демек,y = f(x) функциясыныңх
0
нүк-
тесiндегi туындысы f
′
(x
0
) осы функция
графигiнiң(х
0
; f(x
0
)) нүктесiарқылыөтетiн
жанамасыныңбұрыштықкоэффициентiне
тең:
f
′
(x
0
) = tg
α
= k.
(2)
(2)-формулатуындының геометриялық
мағынасынбередi.
Туындыныңгеометриялық
мағынасы —
функцияныңграфигiнежүргiзiлген жана-
маныңбұрыштықкоэффициентi
.
МЫСАЛ
1.Қозғалыстағыдененiңжүргенжолы s(t) =t
2
+2 формуласымен
берiлген.Осы дененiң t = 5 с мезетiндегiлездiкжылдамдығы мен
үдеуiн табайық.
Шешуi.Лездiкжылдамдықs (t) = t
2
+ 2 функциясыныңt = 5 аргументмәнiндегi
туындысына тең: v(t) = s
′
(t) = 2t, v(5) = 2 · 5 = 10.
Үдеудi есептеуүшiн лездiк жылдамдықтан туынды аламыз,сонда a(t ) = v
′
(t)
= = (2t)
′
= 2, a (5) = 2.
Жауабы: 10 м/с; 2 м/с
2
.
51-сурет

86
Функцияның графигiнеберiлген нүктедежүргiзiлгенжанама мен
Оx осiнiң оң бағытыныңарасындағыбұрыш:
а) сүйiр болса,ондаберiлгеннүктедегiтуынды оң;
ә) доғалболса,ондаберiлгеннүктедегi туынды терiс;
б) нөлгетеңболса,ондаберiлгеннүктедегiтуындынөлгетеңболады.
Берілген
нүктеде
функция
графигіне
жүргізілген
жанаманың
теңдеуі
у
=
f
(
x
) функциясыжәнеоныңграфигiнетиiстi
N
0
(
x
0
;
у
0
) нүктесiндегi
f
′
(x
0
) туындысының мәнi берiлсiн.
Жанама түзу болғандықтан,жанаманың теңдеуiн у = kx + b
сызықтықфункциятүрiндеiздеймiз. Мұндағыk = tg
α
= f
′
(x
0
), ендеше
у = f
′
(x
0
)x
0
+ b. ОсытеңдеугеN
0
(x
0
; f(x
0
)) нүктесiнiңкоординаталарын
қоямыз: f(x
0
) = f
′
(x
0
)x
0
+ b, осыдан b = f(x
0
) – f
′
(x
0
)x
0
.
Соңғы өрнектi у = f
′
(x
0
)x + b теңдеуiнеқойсақ, у = f
′
(x
0
)x +
+ f(x
0
) – f
′
(x
0
)x
0
= f(x
0
) + f
′
(x
0
)(х – x
0
) шығады.
Демек,
у = f(x
0
) + f
′
(x
0
)(х – x
0
).
(3)
(3)-теңдеужанаманыңтеңдеуiболыптабылады.
A
1
(а; f(a)), C
1
(c; f(c)) нүктелерiарқылы өтетiнiн қиюшысына па-
раллельболатынf(x) функциясыныңграфигiне(а; с) интервалынан
алынғанабсциссасыb-ға тең B нүктесiндежүргiзiлген АС жанаманың
бар болуын түсіндіру үшiн туындының геометриялық мағынасын
пайдаланайық.
y = f(x) функциясыныңВ нүктесi арқылы өтетiнАС жанамасына
параллельА
1
С
1
түзуiн жүргiзейiк (52-сурет).Сонда
α
бұрышы А
1
С
1
қиюшының көлбеулiкбұрышынатең, яғни f
′
(b) = tg
α
=
.
Сонымен, егер f(x) функциясы (а; с)
аралығындадифференциалданатынболса,
онда
f
′
(b) =
.
(4)
теңдiгi орындалатындайb
∈
(а; с) нүктесi
табылады.
Бұл формулаЛагранжформуласыдеп
аталады.
МЫСАЛ
2. у = x
2
параболасынаN
0
(1; 1) нүктесiндежүргiзiлгенжанама
мен Ох осiнiң оң бағытыныңарасындағыбұрышынтабайық.
Шешуi. у = x
2
функциясының туындысы у
′
= 2x. (2)-формула бойынша
f
′
(1)= tg
α
= 2 · 1 = 2, ал жанамаменОх осiнiңоң бағытыныңарасындағыбұрыш
α
= arctg2.
Жауабы: arctg2.
52-сурет

87
МЫСАЛ
3. у = x
2
– 2x – 1 функциясынаабсциссасыx
0
= 3 болатыннүкте
арқылы жүргiзiлгенжанаманың теңдеуiнжазайық.
Шешуi.Жанаманың теңдеуiн жазу алгоритмiн қолданамыз:
1) x
0
= 3, ондаf(3) = 3
2
– 3 · 2 – 1 = 2;
2) f
′
(x) = (x
2
– 2x – 1)
′
= 2x – 2;
3) f
′
(3) = 2 · 3 – 2 = 4;
4) ендi табылған мәндердi (2) теңдеуге қоямыз: у = 2 + 4(x – 3) =
= 2 + 4x – 12 = 4x – 10. Демек,жанаманыңтеңдеуiу = 4x – 10 болады.
Жауабы:у = 4x – 10.
1. Туындының физикалықмағынасылездiк жылдамдықпа, әлдеорташа
жылдамдықпа?
2. Функцияның кез келген нүктесi арқылы өтетiн жанама мен туынды
ұғымының арасындақандайбайланысбар?
Жаттығулар
А
15.1.а) x (t) = 2t
2
+ 3 заңы бойыншақозғалғандененiңt = 2 с мезе-
тiндегiқозғалысжылдамдығынтабыңдар.
ә) Нүкте x(t) = 15t
2
+ 6t заңы бойыншақозғалады. Кез келген
t уақыт мезетiндегiжылдамдықтыесептеугеарналғанформула
МЫСАЛ
4. у = 2x
2
– 4x + 5 параболасына(0; 5) және(2; 5) нүктелерi
арқылыжүргiзiлгенжанамалардыңқандайнүктедеқиылысатынын
анықтайық.
Шешуi. 1) Берiлген функция графигiнiң (0; 5) нүктесi арқылы жүргiзiлген
жанаманыңтеңдеуiнжазамыз.
x
0
= 0, f (0) = 5;
f
′
(x) = (2x
2
– 4x + 5)
′
= 4x – 4;
f
′
(0) = 4 · 0 – 4 = –4.
Ендi табылғанмәндердi(2)-теңдеугеқоямыз: у = 5 + (–4) · (x – 0) = 5 – 4x.
Демек,графикке(0; 5) нүктесiарқылы жүргiзiлгенжанаманыңтеңдеуi4х + у = 5
болады.
2) Берiлгенфункция графигіне(2; 5) нүктесiарқылы жүргiзiлгенжанаманың
теңдеуiнжазамыз.x
0
= 2, f (2) = 5;
f
′
(x) = (2x
2
– 4x + 5)
′
= 4x – 4;
f
′
(2) = 4 · 2 – 4 = 4.
Ендi табылғанмәндердi(3)-теңдеугеқоямыз. Сондау = 5 + 4(x – 2) = 4x – 3.
Демек,(2; 5) нүктесiарқылы жүргiзiлгенжанаманыңтеңдеуi 4х – у = 3 болады.
3) Ендi жанамалардың4х + у = 5 және 4х – у = 3 теңдеулерiнентеңдеулер
жүйесiнқұрып жәнеоны шешiп, x = 1 жәнеу = 1 аламыз.Демек,жанамалардың
қиылысу нүктесi(1; 1).
Жауабы: (1; 1).
f(x) функциясының графигiне абсциссасых
0
-ге тең нүктеде
жүргiзiлгенжанаманыңтеңдеуiнжазу алгоритмi:
1) х
0
-ге сәйкесf (x
0
)-дi есептеу;
2) f (x) функциясыныңтуындысынтабу;
3) х
0
-дегi туындыныңмәнiнf
′
(x
0
) есептеу;
4) табылғанмәндердi(3)-формулағақойып, жанаманыңтеңдеуiнжазу.
АЛГОРИТМ

88
арқылы нүктенiңt = 1 с мезетiндегiжылдамдығынжәнеүдеуiн
табыңдар.
б) Дене x(t) = t
2
+ 4t – 1 заңы бойыншақозғалады. Қозғалыс
басталғаннан1 с өткенненкейiнгiдененiңжылдамдығынтабың-
дар.
15.2.у = f(x) функциясы графигiнiң берiлгенА нүктесiненөтетiн
жанамасының абсциссаосiне көлбеулiк бұрышының тангенсiн
табыңдар:
а) f(x) = 2x
2
+ 2,
А(0; 2);
ә) f(x) = 3x
2
– 1,
А(2; 11);
б) f(x) = 4x
2
+ 3x, А(1; 7).
15.3.у = f(x) функциясыныңграфигiнеабсциссасыx
0
болатыннүктеде
жүргiзiлгенжанаманыңтеңдеуiнжазыңдар:
а) f(x) = 4x
2 
– 2,
x
0
= –1;
ә) f(x) = 3x
2
+ 1,
x
0
= 1;
б) f(x) = 1 – 5x
2
,
x
0
= 1.
15.4.у = f(x) функциясыграфигiнеберiлгенА нүктесiарқылы жүргi-
зiлгенжанаманыңтеңдеуiнжазыңдар:
а) f(x) = x
2
+ 1,
А(0; 1);
ә) f(x) = 3 – x
2
,
А(–1; 2).
B
15.5.у = f (x) функциясыныңграфигiнеабсциссасыx
0
болатыннүктеде
жүргiзiлгенжанаманыңтеңдеуiнжазыңдар:
а) f(x) = x
4
– 5, x
0
= –1;
ә) f(x) = – x
4
+ 3, x
0
= 1.
15.6.Берiлген f(x) функциясы графигiнеабсциссасыx = a бола-
тын нүктеде жүргiзiлген жанаманыңабсциссаосiне көлбеулiк
бұрышының мәнiнтабыңдар:
а) f(x) = x
2
– 0,5 x + 1, a = 1;
ә) f(x) = x
2
+ x – , a = 1,5.
15.7.у = f(x) функциясының графигiне(x
0
; f(x
0
)) нүктесiндежүр-
гiзiлгенжанаманыңтеңдеуiнжазыңдар:
а) f(x) = 3x + 2x
2
, x
0
= 1;
ә) f(x) = 4x
2
+ x – 1, x
0
= 2.
15.8.у = f(x) функциясыныңграфигiнежүргізілгенжанамаабсцисса
осінепараллельболатындайтүзудің теңдеуінжазыңдар:
а) у = 2 + x
2
;
ә) у = – x
2
;
б) у = x
2
– 3;
в) у = x
2
– 2x.
15.9.y = (x – 1)
2
параболасына(–1; 2) және(2; 0,5) нүктелерiарқылы
жүргiзiлгенжанамаларқандайнүктедеқиылысады?

89
15.10.y = f(x) функциясыграфигiнiңординатаосiменқиылысунүктесi
арқылы өтетiнжанаманыңтеңдеуiнжазыңдар:
а) у = –2x + x
2
;
ә) y =– x
2
– x.
15.11.у = x + 1 түзуінепараллельболатыну = 3 – x
2
функциясының
графигінежүргізілгенжанаманыңтеңдеуінжазыңдар.
Функция, анықталу облысы,мәндержиыны,туынды, туынды
табу ережелерi
.

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: