§ 16.КҮРДЕЛIФУНКЦИЯНЫҢТУЫНДЫСЫ

90
Жаттығулар
А
16.1.y =f(g(x)) күрделiфункциясынқұрайтынf жәнеg функцияларын
анықтаңдар:
а) у = (2x – 1)
2
;
ә) у =
; б) у = sin
; в) у = tg4x.
16.2.y = f(g(x)), y = g(f(x)) күрделiфункцияларын жазыңдар:
а) f(x) = cosx,
g(x) = 2x;
ә) f(x) = x
3
,
g(x) = 3x + 1;
б) f(x) = sinx,
g(x) = 4x – 1; в) f(x) =
,
g(x) =
.
Функцияның туындысынтабыңдар(16.3-16.4)
:
16.3.а) f(x) =
;
ә) f(x) =
;
б) f(x) = (–x
2
+ 5)
3
;
в) f(x) = (–8x
2
+ 1)
4
.
16.4.а) f(x) = 5(3x + x
3
– 4x
4
)
3
;
ә) f(x) = (4x
2
– x
4
)
2
;
б) f(x) = (3
– 2x
2
+ х
5
)
5
;
в) f(x) = (4
+ 6x
2
– 5х)
5
.
В
16.5.у = f(g(x)), у = g(f(x)) күрделi функцияларын жазыңдар:
а) f(x) = sinx, g(x) =
;
ә) f(x) = 3x
3
+ 2x
2
, g(x) = tgx.
16.6.Функцияның туындысынтабыңдар:
а) f(x) = (7x
5
– 3x
7
)
17
+ (6 – 3x
3
)
13
;
ә) f(x) =
;
б) f(x) = (4 – 5x)
10
– (5 – 4х)
20
;
в) f(x) = (x
5
– 4x)
13
+
.
Функцияның туындысынтабыңдар(
16.7—16.9
):
16.7.а) f(x) =
;
ә) f(x) =
.
16.8.а) f(x) =
– (х – 6)
2
; ә) f(x) =
.
16.9.а) f(x) =
+
;
ә) f(x) = (8 – 3х
6
)
3
–
.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕ
АРНАЛҒАНТІРЕКҰҒЫМДАР
Туынды, туындының анықтамасы,туындынытабу ережелерi,
күрделi функцияныңтуындысы, тригонометриялық
функциялар,
тригонометрия
формулалары.

91
§ 17.ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ
ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ
ТУЫНДЫЛАРЫ
І. у = sinx функциясының
туындысы.
Аргументх-ке ∆х өсiмшеберсек,функция аргументтiңөсiмшесiне
сәйкесөсiмшеалады, у +
∆
у = sin(x +
∆
x).
∆
у = sin(x +
∆
x) – sinx = 2 · sin
· cos
= 2 · sin
×
×
cos
.
Ендi функцияөсiмшесiнаргументөсiмшесiнебөлемiз:
= 2 ·
· cos
.
Соңғытеңдiктенаргументөсiмшесi∆х нөлгеұмтылғандағышекке
көшсек, ондаy
′
=1 · cosx =cosx аламыз,себебi∆х
→
0 болғанда,
→
1
(x
→
0 болғандағы
→
1 формуласыбойынша. Бұл формулажоғары
математикакурсында қарастырылады), ал ∆x
→
0 жағдайында
cos
→
cos(x + 0) = cosx.
Демек,
(1)
ІІ. y = cosx функциясының
туындысы.
Ол үшiн cosx = sin
формуласынжәнекүрделi функцияның
туындысынтабу формуласынқолданамыз:у
′
= (cosx)
′
=
=
= cos
·
= –sinx · 1 = –sinx.
Демек,
(2)
ІІІ. у = ctgx функцияcының
туындыcы.
ctgx =
, sinx ≠ 0, x
≠π
k, k
∈
Z екенi белгiлi, демек, үшiншi
ереженi пайдаланамыз.
Түйіндіұғымдар
Функция, туынды,
тригонометриялық
функциялар
Сендертригонометриялық
функциялардың
туын-
дысынтабуформуласымен
танысасыңдар;
формулаларды
қолданыптригонометриялық
функциялардың
туындысынтабудыүйренесіңдер.
(cosx)
′
= –sinx.
(sinx)
′
= cosx.

92
(ctgx)
′
=
=
=
=
= –
= –
.
Сонда
(3)
IV. у = tgx функцияcының
туындысы.
(4)
(4)-формуланың
дәлелдеуін
өздеріңқарастырыңдар.
Алынғанформулаларғамысалдарқарастырайық.
ЕСТЕ
САҚТАҢДАР!
(sinх)
′
= cosх;
(cosх)
′
= –sinх;
(tgх)
′
=
;
(ctgх)
′
= –
.
(tgx)
′
=
.
МЫСАЛ
1. а) у = 3sinх ; ә) у = 7,5 – соs4х ; б) у = 2sin
2
х ;
в) у = сtg3х – tg3х функциясыныңтуындысынесептейiк.
Шешуi.
а) у
′
= (3sinх)
′
= 3соsх ;
ә) у
′
= (7,5 – соs4х)
′
= (7,5)
′
– (соs4х)
′
(4х)
′
= 0 – (–sin4х) · 4 = 4sin4х ;
б) у
′
= (2sin
2
х)
′
= 2(sin
2
х)
′
= 2 · 2sinх(sinх)
′
= 4sinхсоsх = 2(2sinх соsх) = 2sin2х ;
в) у
′
= (сtg3х – tg3х)
′
= (сtg3х)
′
– (tg3х)
′
=
· (3х)
′
–
· (3х)
′
=
–
–
= –
= –
= –
.
Жауабы: а) 3соsх ;
ә) 4sin4х ;
б) 2sin2х ;
в) –
.
(ctgx)
′
=–
.
1. у = sinx жәнеу = cosx функцияларыныңанықталуоблысыныңкез кел-
ген нүктесiндетуындысыбар деп айтуғаболама?
2. у =tgx жәнеу =ctgx функцияларыныңанықталуоблысыныңкезкелген
нүктесiндетуындысыбар деп айтуғаболама? Жауабынтүсiндiрiңдер.
3. у = sinx функциясы туындысының бар болуының геометриялық
мағынасынқалай түсiнесiңдер?

93
Жаттығулар
А
Функцияның туындысынтабыңдар(17.1—17.4)
:
17.1.а) f(x) = 3sinx + 2cosx ;
ә) f(x) = ctgx – 1;
б) f(x) = tgx + sinx ;
в) f(x) = 2cosx – tgx.
17.2.а) f(x) = 2x + 2tgx ;
ә) f(x) = 4xctgx ;
б) f(x) = sin
;
в) f(x) = tg
.
17.3.а) f(x) = –cos2x + sin2x ;
ә) f(x) = 3x + cos4x ;
б) f(x) = x
3
– 2sin2x ;
в) f(x) = 2tg2x.
17.4.а) f(x) = –3ctgx – 4x
3
;
ә) f(x) = sin2x + tgx ;
б) f(x) = 4 – tgx;
в) f(x) = x
2
ctgx.
17.5.Функцияныңтуындысыныңберiлгеннүктедегiмәнiнесептеңдер:
а) f(x) = cosx + 1, x = ;
ә) f(x) = tgx – 2, x = ;
б) f(x) =
, x = ;
в) f(x) = ctgx + tgx, x = .
17.6.f
′
(x) = 0 теңдеуіншешіңдер:
а) f(x) = –sinx – 1;
ә) f(x) = cos4x + 1.
17.7.f(x) функциясыныңграфигiнеабсциссасыx
0
болатын нүктеде
жүргiзiлгенжанаманыңтеңдеуiнжазыңдар:
а) f(x) = sinx; x
0
=
;
ә) f(x) = tgx; x
0
= .
17.8.f
′
(x) = 0 теңдеуіншешіңдер:
а) f(x) = 3sin2x;
ә) f(x) = 4cos2x.
B
Функцияның туындысынтабыңдар
(17.9—17.11):
17.9.а) f(x) = cosx · (cosx – 1);
ә) f(x) = tgx (cosx + 2);
б) f(x) = sinx (ctgx – 1);
в) f(x) = (4x – 1) · sinx.
17.10.а) f(x) = cos
2
x – 1;
ә) f(x) = 3sin
2
2x + 2x ;
б) f(x) = (sin2x + 1)
2
;
в) f(x) = (cos2x + sin2x)
3
.
17.11.а) f(x) =
;
ә) f(x) =
;
б) f(x) =
;
в) f(x) =
.
17.12.f
′
(x) = 0 теңдеуіншешіңдер:
а) f(x) = 3sin
x;
ә) f(x) = (x – 1) + cos2x.
17.13.f
′
(x) > 0 теңсіздігіншешіңдер:
а) f(x) = cosx + ;
ә) f(x) = sinx – .

94
17.14.Функция туындысыныңанықталуоблысынтабыңдар:
а) f(x) =
;
ә) f(x) =
.
17.15.f(x) функциясытуындысыныңx
0
= 0 нүктесiндегiмәнiн есеп-
теңдер:
а) f(x) = sin
;
ә) f(x) = tg(х
3
+ х).
Функция, функцияныңмәнi, шама, нүктенiң аймағы, туынды,
туындының ережелерімен формулалары,жанаманыңтеңдеуi,
градустықжәнерадиандықөлшем.

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: