10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

101
ЕгерX аралығынатиiстi кез келгенx үшiн f
′
(x) > 0 болса,онда
f
′
(а) > 0 боладыжәнеалуымызбойыншаx
2
– x
1
> 0 болғандықтан,
(1) теңдiктiң сол жағындағыf (x
2
) – f (x
1
) > 0 немесеf (x
1
) < f (x
2
)
шығады, яғни f (x) — өспелiфункция.
Ал егерX аралығындағыкез келгенx үшiн f
′
(x) < 0 болса,онда
f
′
(а) < 0, ал (1) формуладағыf (x
1
) > f (x
2
) болады,өйткенix
2
– x
1
>
0. Демек,X аралығында f (x) функциясыкемiмелi.
Сонымен,туындысыныңкөмегiменf (x) функцияөспелi(кемiмелi)
болатынындәлелдеп,оның өсу және кему аралықтарын анықтауға
болады.
Ескертy.Егер f(x) функциясы аралықтың шеткi нүктелерiнде
үзiлiссiзболса,ондаол нүктелерсоларалыққатиiстiнүктелерболады.
МЫСАЛ
2. f(х) = х
3
– 4х + 2 функциясыныңөсу жәнекему аралықта-
рын табайық.
Шешуi.1) D(f) = R; 2) f
′
(х) =
= х
2
– 4;
3) f
′
(x) > 0, х
2
– 4 > 0.
Алынған теңсiздiктiинтервалдарәдiсiменшешейiк.Сондах
2
– 4 = 0, x
1,2
= ±2.
Ендi ±2 нүктелерiарқылы координаталартүзуiн үш интервалғабөлiп, әрқайсысын-
дағытуындытаңбасынанықтаймыз.Ол үшiн х = 3 депалып, туындыныңтаңбасын
анықтаймыз. f
′
(3) = 3
2
– 4 = 5 > 0, яғни x > 2 болғанда,f
′
(x) > 0. Демек,
x = 3 санытиiстi интервалдатуындытаңбасыоң болады,ал қалғанинтервалдарда
оң жәнетерiстаңбаларкезекпенқойылады(55, а-сурет).Демек,(–
∞
; –2]
∪
[2; +
∞
)
аралығындаf
′
(x) > 0, ал [–2; 2] аралығындаf
′
(x) < 0.
55, а-сурет
Жауабы: (–∞; –2]
∪
[2; +∞) — өседi,[–2; 2] — кемидi.
АЛГОРИТМ
Функцияның өсу жәнекему аралықтарынтабуалгоритмі:
1) функцияныңанықталуоблысынтабу;
2) функцияныңтуындысынтабу;
3) f
′
(x) > 0 немесеf
′
(x) < 0 теңсiздiгiншешу;
4) берiлгентеореманыңтұжырымдамасыбойыншафункцияныңөсу жәнекему
аралықтарын жазу, яғни соңғы теңсiздiктершешiмдерiфункцияның өсу, кему
аралықтарыболады.
МЫСАЛ
1. f(х) = 3x
2
– 12x функциясыныңөсу жәнекему аралықтарын
табайық.
Шешуi.1) Функцияның анықталуоблысыбарлықнақты сандаржиыны.
2) f
′
(х) = (3x
2
– 12x)
′
= 6x – 12.
3) f
′
(x) > 0, яғни 6x – 12 > 0, 6x > 12, x > 2. Онда анықталу облысының
x < 2 бөлiгiндеf
′
(x) < 0 болатыныайқын.
4) Теоремабойынша(2; +∞) аралығындафункцияөспелi,ал (–∞; 2) аралығында
функциякемiмелi.
Жауабы: (–∞; 2) — кемидi, (2; +∞) — өседi.

102
МЫСАЛ
4.f(x) =sinx – 2x функциясыныңбiрсарындыөспелi,бiрсарынды
кемiмелiаралықтарынтабайық.
Шешуi.1) Функцияның анықталуоблысыбарлықнақты сандаржиыны.
2) f
′
(x) = (sinx – 2x)
′
= cosx – 2.
3) Туындының таңбасынанықтаймыз.|cosx|
m 
1 болғандықтан,cosx – 2 өрне-
гiнiң мәнix-тiң кезкелгенмәнiнде0-денкiшi. Сондықтанx
∈
R болғандаf
′
(x) <0. Демек,
берiлгенфункция— барлықнақтысандаржиынындабiрсарындыкемiмелiфункция.
Жауабы: функцияR жиынындакемiмелi.
Жаттығулар
А
19.1.56, а-суреттеy = f (x) функциясыныңграфигiберiлген.Функция-
ның туындысы: а) оң таңбалы; ә) терiс таңбалы болатын
аралықтардыкөрсетiңдер.
1. Негеу = сtgx функциясы(0;
π
) аралығындакемидi? Жауабынтүсiн-
дiрiңдер.
2. Қайсыбiраралықтафункциябiрсарындыөспелiболсын.Осы аралықта
функцияныңтуындысыоң таңбалыболама?
3. Нақты сандар жиынында туындысы 1-ге тең болатын функцияның
графигiқандайболады?Жауабынтүсiндiрiңдер.
МЫСАЛ
3. f(x) = 0,25x
4
– x функциясыныңөсу жәнекемуаралықтарын
табайық.
Шешуi.1) Функцияныңанықталуоблысыбарлықнақты сандаржиыны.
2) f
′
(x) = (0,25x
4
– x)
′
= x
3
– 1.
3) f
′
(x) > 0, х
3
– 1 > 0. x
3
– 1 = 0, x
3
= 1, x = 1. Сан түзуiн x = 1 нүктесi
арқылы екi аралыққабөлемiз. x = 0 болғандаf
′
(0) = 0
3
– 1 = –1.
Интервалдардағытуындыныңтаңбасынсан түзуiнесаламыз (55, ә-сурет).
4) (–∞; 1] аралығында функциякемiмелi,[1; +∞) — функция өспелi.
55, ә-сурет
Жауабы: (–∞; 1] — кемидi;[1; +∞) — өседi.
56-сурет
а)
ә)

103
19.2.56, ә-суреттеy =f (x) функциясытуындысыныңграфигiберiлген.
Суреттiпайдаланып,y = f (x) функциясының:а) өсу; ә) кему;
аралықтарынтабыңдар.
19.3.f (x) функциясыныңбiрсарындыөспелiжәнебiрсарындыкемiмелi
аралықтарынтабыңдар:
а) f(x) = x + 4;
ә) f(x) = 3x + x
2
;
б) f(x) = 2x
2
– x;
в) f(x) =
.
19.4.Берiлгенфункцияның анықталу облысындаөспелi болатынын
дәлелдеңдер:
а) у = + 3,1х;
ә) у =– ;
б) у = 2х
3
+ 1,4;
в) у = 3 –
.
19.5.y = f (x) функциясыанықталуоблысындакемiмелiболатынын
дәлелдеңдер:
а) у = 7 – 5х;
ә) у = 2 – 3х
3
;
б) у = ;
в) у = 6 + .
В
19.6.Функцияныңөсу (кему)аралықтарынтабыңдар:
а) f(x) = x
3
+ 4x –7;
ә) f(x) = 5x
2
– 3x –8;
б) f(x) = 2x
3
+ 3x
2
–12x; в) f(x) = 3x
3
– x – 2.
19.7.y = f (x) функциясыныңөспелiфункцияекенiндәлелдеңдер:
а) y = x
3
+ x;
ә) у = – .
19.8.f (x) функциясыныңөсу жәнекему аралықтарынанықтаңдар:
а) f(x) = x
3
– 3x + 5;
ә) f(x) = x
3
– 4x + 7;
б) f(x) = x
5
+ 5;
в) f(x) = x
4
– 4x.
19.9.Барлықнақты сандаржиынындаf(x) функциясының кемiмелi,
ал g(x) өспелiфункцияболатынындәлелдеңдер:
а) f(x) = 5 – x
7
;
ә) g(x) = 4 + x
3
;
б) f(x) = –8x – sin 2x;
в) g(x) = –cos 6x + 7x.
19.10.а-ның қандаймәнiндеf(x) =
+ах
2
+х функциясынақтысандар
жиынындаөспелiболады?
19.11.f(x) = x
3
– 6x
2
+ 1 функциясыныңбiрсарындыкемiмелi ара-
лығындағыx-тiң бүтiн мәндерiнiңсанынтабыңдар.
19.12.Туындысыf
′
(x) =(x – 3)(x – 1)(x – 2)
2
болатын функцияныңкему
аралықтарыныңұзындықтарының қосындысын табыңдар.
19.13.y = f (x) функциясыныңтуындысыf
′
(x) = (x
2
– 1)(x
2
– 9)(x
2
– 16)
түрiнде берiлген.Функцияның бiрсарындыкемiмелi аралық-
тарыныңұзындықтарыныңқосындысынесептеңдер
.

104
Функция,функцияныңанықталу облысы,туынды,туындытабу
ережелері,туынды табу формулалары,функцияныңөсу жәнекему
белгiлерi.
§ 20.ФУНКЦИЯНЫҢ
СЫНДЫҚНҮКТЕЛЕРІ
МЕНЭКСТРЕМУМ
НҮКТЕЛЕРІ
ЕСКЕТҮСІРІҢДЕР!
55-56-суреттердіқолданып,экстремумнүктелерінкөрсетіңдер,минимумжәне
максимумнүктелерінкөрсетіңдер.
Функцияны зерттеужәнеграфигінсалу барысындаөсу жәнекему
аралықтарыменқатарфункцияныңсындықжәнеэкстремумнүктелерiн
табабілу керек.
Сындық нүктелерғанаэкстремумнүктелерiболуымүмкiн.
Функцияныңэкстремумболуыныңқажеттiшарты.
Теорема.Егерx
0
нүктесif(х) функциясыныңэкстремумыжәне
осынүктенiңаймағындаf
′
(х) туындысыбарболса,ондатуындының
x
0
нүктесiндегiмәнi нөлгетең,яғниf
′
(х
0
) = 0.
Әрбiрсындық нүкте экстремумнүктесіболабермейді.
Экстремумныңмаксимум жәнеминимум болуыныңжеткiлiктi
шарты.
Түйіндіұғымдар
Функция, функцияның
анықталуоблысы,
сындық нүктелер,
функцияэкстремумы
Сендер функцияныңсындық нүктелеріанық-
тамасымен,функция экстремумыныңбар болу
шартыментанысасыңдар;
сындық және экстремум нүктелерінтабуды
үйренесіңдер.
МЫСАЛ
1. y = x
3
– 1 функциясыналайық. Бұл функцияныңтуындысы
f
′
(х) = 3x
2
. f
′
(х) = 0 теңдеуiншешейiк, яғни 3x
2
= 0 немесеx = 0.
Сонымен,f
′
(х) = 3 · 0 = 0.
Бiрақ бұл нүктедефункцияныңэкстремумыболмайды (57-сурет).
Функцияныңтуындысынөлгетең немесетуындысыболмай-
тын анықталуоблысыныңiшкi нүктелерi сындықнүктелер
деп аталады.
ЖАҢАБІЛІМДІМЕҢГЕРУГЕҚАЖЕТТІТІРЕКҰҒЫМДАР

105
Теорема.Егер x
0
нүктесiндеf(x) үзiлiссiз,
ал (а; x
0
) аралығындаf
′
(х) > 0 (f
′
(х) < 0) және
(x
0
; b) аралығындаf
′
(х) < 0 (f
′
(х) > 0) болса,онда
x
0
нүктесiндеf(x) функциясыныңмаксимум(ми-
нимум) нүктесi болады.
Көп жағдайдабұл теореманыңжеңiлдетiлген
тұжырымын қолданған ыңғайлы, яғни егер x
0
нүктесiндетуынды таңбасын плюстен минуске
(минустенплюске) ауыстырса, онда x
0
нүктесi
максимум (минимум) нүктесiболады.
Дәлелдеуі
: Теореманымаксимум нүктесi үшiн
дәлелдейiк. Интервалдарәдiсiн қолданып, әр
аралықтағытуындыныңтаңбасынанықтаймыз.
Теореманыңшартыбойынша(а; x
0
) аралығында
f
′
(х) >0, x
0
нүктесiндеүзiлiссiзболғандықтан,(а; x
0
]
аралығындаөседi,сондықтаносы аралықтабарлықх үшiн f(х) < f(х
0
).
Тураосылай[x
0
; b) аралығындаf(х) кемидi, туындыf
′
(х) <0, сондықтан
[x
0
; b) аралығындабарлықх үшiн f(х) < f (х
0
) теңсiздiгiорындалады.
Демек,х
0
нүктесif(х) функциясыныңмаксимумнүктесi.
x
0
нүктесіминимумнүктесіболатынынөздеріңдәлелдеңдер.
АЛГОРИТМ
Функцияның экстремумнүктелерiнтабуалгоритмi:
1) функцияныңтуындысынтабу;
2) функцияныңсындық нүктелерiнтабу, яғни f
′
(х) = 0 теңдеуiншешу;
3) сындықнүктелераймағындағыf
′
(х) туындысыныңтаңбасынинтервалдар
әдiсiмен анықтау;
4) экстремумнүктелерiнiң бар болуының жеткiлiктi шартын қолданып,
максимумжәнеминимумнүктелерiнтабу.
МЫСАЛ
2. у = 2х
3
– х
2
– 4х + 5 функциясының экстремумнүктелерiн
табайық.
Шешуi. 1) Функцияның туындысы:
у
′
= (2х
3
– х
2
– 4х + 5)
′
= 6х
2
– 2х – 4 = 2(3х
2
– х – 2);
2) 2 (3х
2
– х – 2) = 0, 3х
2
– х – 2 = 0, х
1
= – , х
2
= 1;
3) x
1
=– , x
2
= 1 нүктелерiарқылы сан түзуiн интервалдарғабөлiп, әр интер-
валдағы туындының таңбасынанықтайық. Мысалы,
аралығынанх = 0
нүктесiналайық. Сондаf
′
(0) = 2 · (3 · 0
2
– 0 – 2) = –4 < 0.
Функция туындысыныңтаңбасынсантүзуiндекөрсетейiк(58-сурет).
58-сурет
57-сурет

106
МЫСАЛ
3. y =– x
3
+8x +10функциясыныңэкстремумнүктелерінтабайық.
Шешуi.1) y
′
(x) =
= –2x
2
+ 8 = –2(х
2 
– 4);
2) y
′
(x) = 0, –2(x
2
– 4) = 0. Бұдан x
2
= 4, сондаx
1,2
= ± 2.
[–2; 2] аралығынанx = 0 нүктесiналсақ, f
′
(0) = –2 · 0
2
+ 8 = 8. Туындының
аралықтағытаңбаларынсан түзуiне орналастырамыз(59-сурет).
59-сурет
3) x
1
= –2 — минимум,x
2
= 2 — максимумнүктесiболады.Осы нүктелердегi
функцияныңэкстремуммәндерiнесептеймiз:
f(–2) =– · (–2)
3
+8 · (–2) +10 = – 6 =
=–
— функцияныңминимумы,
ал f(2) =–
· 2
3
+ 8 · 2 + 10 = –
+ 26 =
=
— максимумы.
Жауабы:
minf(x) = f(–2) = – ; maxf(x) = f(2) =
.
1. Егер f(x) функциясы[a; b] аралығындаанықталғанболса,онда x = a
оның экстремум нүктесiболаала ма?
2. Кемiмелiфункцияныңэкстремумнүктелерiболуымүмкiн бе?
3. Жұп (тақ) функцияның: а) бiр; ә) екi; б) үш экстремумнүктесi бола
ма? Жауабынтүсiндiрiңдер.
МЫСАЛ
4. [0; 1] кесiндiсiнде–12х
4
+ 16х
3
– 3 = 0 теңдеуiнiңқанша
нақты түбiрлерiбар екенiнанықтайық.
Шешуi. f(x) = –12х
4
+ 16х
3
– 3 функциясын қарастырайық.Функцияның
анықталу облысы — барлық нақты сандар жиыны. Функцияның сындық
нүктелерiнiздеймiз.
Алдыментуындынытабамыз:f
′
(x) = –48х
3
+ 48х
2
= –48x
2
(x – 1). Ендi f
′
(x) = 0
теңдеуiншешемiз:–48x
2
(x – 1) = 0. Туынды х
1
= 0 және х
2
= 1 нүктелерiнде
нөлгетең болады.
Сындық нүктелердегiфункцияның мәндерiн есептеймiз:
f (0) = –12 · 0
4
+ 16 · 0
3
– 3 = –3; f (1) = –12 · 1
4
+ 16 · 1
3
– 3 = – 12 + 16 – 3 = 1.
[0; 1] кесiндiсiндефункция –3-тен 1-ге дейiн өседi.Үзiлiссiз функциялардың
қасиеттерiбойынша[0; 1] кесiндiсiндеберiлгенфункция бiр нүктеденөлгетең,
яғни оның [0; 1] кесiндiсiндебiр нақты түбiрi бар.
Жауабы: нақты түбiрi бiреу.
4) Сондах
1
= –
— максимум,ал х
2
= 1 — функцияныңминимум нүктесi.
Жауабы: х
max
= – ; х
min
= 1.

107
Жаттығулар
А
20.1. 60-суреттеберiлгенf(x) функциясыныңграфигiбойынша оның
өсу, кему аралықтарынжәнеэкстремумнүктелерiн табыңдар.
60-сурет
Функцияның сындық нүктелерiн тауып, олардың қайсысы
минимум,қайсысымаксимум нүктелерi болатынынанықтаңдар
(20.2-20.3)
:
20.2.а) f(x) = 3x
2
– 2;
ә) f(x) = 7x
2
+ 3;
б) f(x) = 3x – x
2
+ 1;
в) f(x) = 5x
2
– 8x – 3.
20.3.а) f(x) = 0,5x
2
– 2x – 2,5;
ә) f(x) = –4x
2
+ 1;
б) f(x) = x
2
– ;
в) f(x) = –x
2
+ 3x.
20.4.а) f(x) =
–
;
ә) f(x) =
– 5x
функциясыныңэкстремумнүктелерiболмайтынындәлелдеңдер.
В
20.5.Функцияның максимумжәнеминимумнүктелерiнтабыңдар:
а) f(x) = cosx + 1;
ә) f(x) = x + 2sinx.
20.6.Функцияныңсындықнүктелерiнтабыңдар.Максимум,минимум
нүктелерінанықтаңдар:
а) f(x) = x – x
3
;
ә) f(x) = 2x
4
– 8x;
б) f(x) = x
4
– 32x
2
+ 1;
в) f(x) = 9 + 4x
3
– x
4
;
г) y =x
2
(x + 1);
ғ) y = 3x
4
+ 4x
3
.
20.7.Қасиеттерiбойыншафункцияграфигiнiңкескiнiнсалыңдар:
а) D(f) = [–2; 4]; x
∈
(–2; 1), f
′
(x) < 0, ал x
∈
(1; 4) аралығында
f
′
(x) > 0;
ә) D(f) = [–2; 4]; x
∈
(–2; –1) аралығында f
′
(x) > 0, ал x
∈
(–1;
4) аралығындаf
′
(x) < 0;

108
б) D(f) = [а; b]; x
1
— минимумнүктесі, x
2
— максимумнүктесі
және f(а) < f(b);
в) D(f) = [а; b]; x
1
— минимумнүктесі, x
2
— максимумнүктесі
жәнеf(а) = f(b).
20.8.f (x) функциясыныңсындықнүктелерiболмайтынындәлелдеңдер:
а) f(x) = 15 + x;
ә) f(x) = tgx + 1;
б) f(x) = x
3
+ 2;
в) f(x) = x
5
+ x.
20.9.y = f(x) функциясыныңэкстремумнүктелерінтабыңдар:
а) f(x) = – 12х
2
;
ә) f(x) = – х
2
.
20.10.Берiлгенкесiндiдетеңдеудiңнешетүбiрi болатынынтабыңдар.
а) x
3
– 12x + 10 = 0, [–2; 2];
ә) x
3
– 3x +
= 0, [–1; 1].
20.11.Функцияныңсындықнүктелерiнтабыңдар:
а) f(x) = (x – 1)
2
(x + 2)
2
;
ә) f(x) = (x + 1)
2
(x – 2)
2
.
20.12.Шексiз көп экстремумнүктелерiболатынфункцияларғамысал
келтiрiңдер.
20.13.f(x) = 3x
4
– 4х
3
функциясыныңэкстремумнүктелерініңордина-
таларыныңқосындысынесептеңдер.
Функция,анықталу облысы,мәндержиыны,функцияныңграфигi
менқасиеттерi,туынды,туындытабуережелері
менформулалары,
функцияныңөсу жәнекему белгiлері,экстремумнүктелерi.

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: