10 А. Е.Әбiлқасымова, З.Ә. Жұмағұлова алгебра

109
МЫСАЛ
y = x
3
+ 3x
2
функциясынзерттеп,графигiнсалайық.
Шешуi.Функцияны зерттеуалгоритмiнқолданамыз.
1) Функция рационал функция болғандықтан,анықталу облысы барлық
нақты сандаржиыны, яғни D ( y) = R;
2) Функция жұп та емес,тақ та емес,себебiy(–х) = (–x)
3
+ 3 · (–x )
2
= – x
3
+ 3x
2
.
Функция периодтыемес;
3) Функция графигiнiңкоординаталаросьтерiменқиылысунүктесiн табайық:
Оy осiмен: x = 0, y(0) = 0
3
+ 3 · 0
2
= 0; (0; 0);
Оx осiмен: y = 0, x
3
+ 3x
2
= 0,
x
2
(x + 3) = 0, (0; 0), (–3; 0).
4)Функцияныңтаңбатұрақтылықаралығынанықтауүшiнсантүзуiнx =0және
x = –3 нүктелерiарқылыинтервалдарғабөлiп,функцияның әрбiр интервалдағы
таңбасынанықтаймыз:x =2, y(2)=2
3
+3 · 2
2
=20>0; x =–2, y(–2) =4 >0; x =–4,
y (–4) =– 16 <0. Сантүзуiндеинтервалдардағы
функцияныңтаңбасынбелгiлеймiз
(61-сурет).
61-сурет
Демек,(–3; 0)
∪
(0; +
∞
) аралығындаf(x) > 0, ал (–
∞
; –3) аралығындаf(x) < 0;
5) y
′
= (x
3
+ 3x
2
)
′
= 3x
2
+ 6x;
3x
2
+ 6x = 0 немесе 3x (x + 2) = 0, ондаx
1
= 0; x
2
= –2 — сындық нүктелер.
x
1
= 0 және x
2
= –2 нүктелерi арқылы функцияның анықталу облысын
аралық-тарға бөлiп, әр аралықтағытуындыныңтаңбасынинтервалдарәдiсiмен
анықтаймыз:x =1; y
′
(1)=3 · 1
2
+6 · 1=9 >0. Сантүзуiндефункциятуындысының
таңбасынбелгiлеймiз(62-сурет).
Демек,(–
∞
; –2]
∪
[0; +
∞
) аралығындаf
′
(x) > 0 — функциябiрсарындыөспелi,
[–2; 0] аралығындаf
′
(x) < 0 — функциябiрсарындыкемiмелi.
x = –2 — максимумнүктесi.
x = 0 — минимумнүктесi.
Экстремумнүктелерiндегiфункцияның мәндерiнесептейiк:
y (–2) = (–2)
3
+ 3 · (–2)
2
= 4; (–2; 4);
y (0)= 0
3
+ 3 · 0
2
= 0; (0; 0).
62-сурет
АЛГОРИТМ
Функцияны туындының көмегімен зерттеу және оның
графигінсалу алгоритмі:
1) функцияныңанықталуоблысынтабу;
2) функцияныңжұп, тақ жәнепериодтылығынанықтау;
3) функция графигiнiң координаталаросьтерiмен қиылысу нүктелерiн
анықтау;
4) таңбатұрақтылықаралықтарынтабу;
5) өсу жәнекему аралықтарын,экстремумдарынтабу;
6) зерттеунәтижелерiнкестегеенгiзу;
7) функцияныңграфигiнсалу.

110

жүктеу/скачать 15,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: